2、当物体系中其它物体都保持平衡状态，只有一个物体有加速度时，系统所受的合外力只给 该物体加速。即 F 合外=m1a， 【题3】如图所示，质量为 M 的框架放在水平地面上，一轻弹簧上端固定一 个质量为 m 的小球，小球上下振动时，框架始终没有跳起.当框架对地面压力 为零瞬间，小球的加速度大小为：（ ） M ? m M ? m g C.0 D. g A.g B. m m
图
【题 4】如图，一只质量为 m 的小猴抓住用绳吊在天花板上的一根质量为 M 的竖直杆。当悬绳 突然断裂时，小猴急速沿杆竖直上爬，以保持它离地面的高度不变。则杆下降的加速度为（ ）
A. g
m
gB. M
M ? m
gC. M
M ? m
gD. M
M m
3、当物体系中所有物体都保持平衡状态时，系统所受的合外力为零。
【题 4】两刚性球 a 和 b 的质量分别为 ma 和 mb，直径分别为 da 和 db(da＞db).将 a、b 球依次放 入一竖直放臵、内径为 d(da＜d＜da＋db)的平底圆筒内，如图 3 所示.设 a、b 两球静止时对圆筒 侧面的压力大小分别为 FN1 和 FN2，筒底所受的压力大小为 F.已知重力加速度大小为 g. 若所有 接触都是光滑的，则(
)
D.mag＜F＜(ma＋mb)g，F
A.F＝(ma＋mb)g，FN1＝FN2
B.F＝(ma＋mb)g，FN1≠FN2
N1≠FN2
C.mag＜F＜(ma＋mb)g，FN1＝FN2
十一、运动的合成与分解 1、牵连运动问题
牵连运动问题中的速度分解，有时往往成为解某些综合题的关 际 情况出发，牢牢抓住——实际运动就是合运动。作出合速度沿绳或 键。处理这类问题应从实牵 连速度。 杆方向上的分速度，即为 3 【题1】如图1－1所示，在水面上方高20m 处，人用绳子通过定滑轮 m/s 的速度将绳子收短，开始时绳与水面夹角30°，试求： 将水中的小船系住，并以 (1)刚开始时小船的速度； (2)5秒末小船速度的大小。
2、小船过河问题
处理方法：轮船渡河是典型的运动的合成与分解问题，小船在有一定流速的水中过河时，
实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在 静水中的船的运动），船的实际运动是合运动。 （1）过河时间最短问题：
9
?
dd 在河宽、船速一定时，在一般情况下，渡河时间 t ? ?
?1 ?船 sin ??
?
，显然，当? ? 90??
d
时，即船头的指向与河岸垂直，渡河时间最小为 ，合运动沿v的方向进行。
v
【题 1】在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水 流速度为 v1，摩托艇在静水中的航速为 v2，战士救人的地点 A 离岸边最近处 O 的距离为 d，如 战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离 O 点的距离为( )
A． d?2 ? ??
2
2 2 1
B．0
d?C． 1 ? 2 d? 2 D． ?1
（2）过河位移最小问题：
①若?船 ? ?水 ，则应使船头偏向上游，使得合速度垂直于河岸，位移为河宽， v ??水
（亦可理解为：v船的一个分量抵消水流的冲击， 偏离上游的角度为 cos? ? 。?船 另一个分量使船过河）
②若 v船 ? v水 ，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使 漂下的距离最短呢？如图所示，（用动态圆分析）设船头 v 船与河岸成 θ 角。合速度 v 与河岸成 α 角。可以看出：α 角越大，船漂下的距离 x 越 短，那么，在什么条件下 α 角最大呢？以 v 水的矢尖为圆心，v 船为半径 v
画圆，当 v 与圆相切时，α 角最大，根据 cos? ? 船 船头与河岸的夹角
v水
船 θ v 水
B v v 船 αA θE v 水
v船d 此时渡河的最短 ? (v水 ? v船 cos? ) ??应为? ? arccos ，船沿河漂下的最短距离为： xmin
v水 v船 sin ??
位移： s ??d ? dv水 cos? v船
【题 2】河宽 d＝60m，水流速度 v1＝6m／s，小船在静水中的速度 v2=3m／s，问： (1)要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河?最短时间是多少? (2)要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河?最短的航程是多少?
3、平抛、类平抛问题 （1）类平抛问题
将运动分解为初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向的匀加速直线运动。
【题1】有三个质量相等，分别带正电、负电和不带电的小球A、B、C，从同一位臵以相同 速度v0先后射入竖直方向的匀强电场中，它们落在正极板的位臵如图3-3-4所示，则下列说 法中准确的是（ ）
1
0
A.小球A带正电，小球B不带电，小球c带负电 B.三个小球在电场中的运动时间相等 C.三个小球到达正极板的动能EKA ? ? D．物块从顶点P水平射入时速度为 a g sin ?? 2b 【题 3】将一带电小球在距水平地面 H 高处以一定的初速度水平抛出，从 抛出点到落地点的位移 L＝25m。若在地面上加一个竖直方向的匀强电场【题2】如图1-4-5所示，光滑斜面长为a，宽为b，倾角为θ，一物块沿P水 面左上方顶点斜 平射入，而从右下方顶点Q离开斜面。则以下说法中正确的是（ ） A物块在斜面上做匀变速曲线运动； B物块在斜面上做匀变速直线运 动； C物块从顶点P水平射入时速度为 a 2b g sin ?? ，小球抛出后恰做直线运动。若将电场的场强减为一半，小球落到水平地面 2 上跟没有电场时的落地点相距 s=8.28m，如图 11 所示，求：（取 g=10m/s ） (1) 小球抛出点距地面的高度 H； （2）平抛+斜面问题 这类问题的关键是处理斜面的倾角和平抛运动的位移矢量三角形、速 (2) 小球抛出时的初速度的大小。 【题 1】从倾角为θ的足够长的斜面顶端 A 点，先后将同一小球以不 同 的初速度水平向右抛出，第一次初速度为 v1，球落到斜面上前一瞬间 ? v的 速度方向与斜面的夹角为 1 ，第二次初速度 2 ，球落在斜面上前一瞬 ? v? v? 和? 2 的大间 的速度方向与斜面间的夹角为 2 ，若 2 1 ，试比较 1 小。 ②平抛点在斜面的对面（此时斜面的倾角可化入平抛运动的速度矢量三 系。结合平抛运动推论 tanθ=2tanφ（其中θ为 t 时刻速度与水平度矢量三角形的关 方向的 移与水平方向的夹角）即可方便解决问题。 夹角，φ为该时刻①平抛点在斜面的顶端（此时斜面的倾角可化入平抛运动的位移矢量三 位 角形） 【题 2】以初速度 v0 水平抛出一小球，恰好垂直击中倾角为θ试 求：小球从抛出到击中斜面的时间 t。 的斜面。角形） 十二、非匀速圆周运动 竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周运动(带电粒子在匀强磁场中运动除外)，运动 的速度大小和方向在不断发生变化，运动过程复杂，合外力不仅要改变运动方向，还要改 变速度大小，所以一般不研究任意位臵的情况，只研究特殊的临界位臵──最高点和最低 10 点。 1．轻绳类模型。 运动质点在一轻绳的作用下绕中心点作变速圆周运动。由于绳子只 力能提供拉 而不能提供支持力，质点在最高点所受的合力不能为零，合力的最小值 的是物体 拉重力。所以：（1）质点过最高点的临界条件：质点达最高点时绳子的 力刚好 为零，质点在最高点的向心力全部由质点的重力来提供，这时有 中的 ，式 高点 的条件是 是小球通过最高点的最小速度，叫临界速度；（2）质点能通过最 作抛体运动了。 ；（3）当质点的速度小于这一值时，质点运动不到最高点高 【题1】如图所示，位于竖直平面内的光滑有轨道，由一段斜的直轨道与之相切的圆形轨道 止开始下滑，然 轨连接而成，圆形轨道的半径为R。一质量为m的小物块从斜轨道上某处由静 后沿圆形轨道运动。要求物块能通过圆形轨道最高点，且在该最高点与 超道间的压力不能 过5mg（g为重力加速度）。求物块初始位臵相对于圆形轨道底部的高度 h的 取值范围。 2．轻杆类模型。 运动质点在一轻杆的作用下，绕中心点作变速圆周运动，由于轻杆 拉力，所以质点过最高能对质点提供支持力和 点时受的合力可以为零，质点在最高点可以处于平 衡状态。所以质点过 最高点的最小速度为零，（1）当 时，轻杆对质点有竖直向上的支持力 ，其大小等于质点的 ； ；重力，即 （2）当 时， （3）当 ，质点的重 力不足以 （4 ）当 提供向心力，杆对质点有指向圆心的拉力；且拉力随速度的增大而增大 ； 力，支持力随 的增大而减小， 上的支持 时，质点的重力大于其所需的向心力，轻杆对质点的竖直向 。 【题2】如图所示光滑管形圆轨道半径为 R（管径远小于 R）固定，小球 a、b 大小相同，质量 相同，均为 m，其直径略小于管径，能在管中无摩擦运动．两球先后以相同速度 v 通过轨道最 低点，且当小球 a 在最低点时，小球 b 在最高点，以下说法正确的是（ ） A．速度 v 至少为 ，才能使两球在管内做圆周运动 时，小球 b 在轨道最高点对轨道无压力 B．当 v= C．当小球 b 在最高点对轨道无压力时，小球 a 比小球 b 所需向心力大5mg 6mg D．只要 v≥ ，小球 a 对轨道最低点压力比小球 b 对轨道最高点压力都大 【补充】竖直平面内的圆周运动一般可以划分为这两类，竖直（光滑）圆弧内侧的圆周运动， 水流星的运动，过山车运动等，可化为竖直平面内轻绳类圆周运动；汽车过凸形拱桥，小球在 11
