|PF1||AF1|?|AP||AF1|?|F1P|ee?|PF1|?|AF1|?2|PF1| ??|AF1||AF1||AF1|ep?|AF1|epp?e|PF1|2|PF1||PF2|2|PF2|所以：??1, 同理可得：??1
|AF1|ep|BF2|ep|PF1||PF2|24a4a2所以：??(|PF1|?|PF2|)?2??2?2?2为定值．
|F1A||F2B|epepb
11、解：定义一个方格中填的数大于它所在行至少2011个方格中所填的数，则称此格为行优的．
又每一行中填较小的2011个数的格子不是行优的，得到每行中有n?2011个格子为行优的．
另外，每一个“优格”一定是行优的，所以棋盘中“优格”个数≤n(n?2011)． 将棋盘的第i(i?1,2,3,,n)行第i,i?1,,i?2010（大于n时，取模n的余数）列中
的格子填入“*”，再将1,2,3,,2011n填入有“*”的格子，其余的数填入没有“*”的格
子．没有“*”的格子中填的数大于有“*”的格子中填的数，所以，棋盘中没有“*”的格子都是“优格”，共有n(n?2011)个．
容易验证这种填法满足条件，所以“优格”个数的最大值为n(n?2011)个．
A 二试题答案：
一、证明：证明：先证充分性。
如图，由于∠DPC=∠DQC=90°，所以D，Q，P，C四点共圆。 进而∠BCA+∠PDQ=180°，∠ACD=∠QPD 同理，由D，R，A，Q四点共圆， 得∠CAD=∠QRD，∠BAC+∠QDR=180°
P 在?ABC和?ADC中应用正弦定理，得
BAsin?BCAsin?PDQDAsin?ACDsin?QPD????； BCsin?BACsin?QDRDCsin?CADsin?QRDBADCsin?PDQsin?QRDPQQDPQ???????1，于是又PQ=QR，所以
BCDAsin?QPDsin?QDRQDQRQRBADA? BCDCB
D R Q
C
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BADCsin?PDQsin?QRDPQQDPQ ??????BCDAsin?QPDsin?QDRQDQRQRBADABADCPQ???1，即又，所以?1，所以PQ?QR BCDCBCDAQR再证必要性。同上可得
二、解：首项a1?k，则1,2,则所有数列{an}的首项和为?,k?1任意排列，第一个空的位置是n，
?kPk?1n?1k?1n?1(n?1?k)!??kk?1n?1(n?1)!(n?1?k)!
(n?k)!kn?kn(n?1)!?(n?1)!??(n?1)!?(?1)
kk?1n?kk?1k?1kn?1n?1111n?1111?)?n!? ?n!?(?)?n!(1????23n?1nknk?1k?1k?1方法二、设ak?1?n，首项a1?q（q≥k），
??则所有数列{an}的首项和为
n?1n?1n?1n?1n?1??qPq?kk?1n?1n?1k?1n?1?kq?1n?1?kP???qq?kk?1n?1n?1(q?1)!(n?1?k)!
(q?k)!n?1n?1q!k???(n?1?k)!k!???Cq(n?1?k)!k!
?k!q?kk?1(q?k)!q?kk?1n?1n?1n?1n!n!k?1??Cn(n?1?k)!k!??(n?1?k)!k!???(n?k?1)!k?1k?1(k?1)!k?1k?1?n!?
1
k?1k?1n?12bcAcos， b?c24b2c24b2c21?cosA2b2c2b2?c2?a222A所以：ta?cos??(1?) (b?c)22(b?c)22(b?c)22bc1bc22((b?c)2?a2)， ?((b?c)?a)≤24(b?c)三、证明：由角平分线公式知ta?由
柯
栖
不
等
式
得
：
mb?2ta≤
223(mb?2ta)≤
33(2(a2?c2)?b2?2(b?c)2?2a2)?(b?2c)， 423(b?2a)， 同理mb?2tc≤2所
以
：
ha??mb≤tta?mb?tc?1(mb?2ta?mb?2tc)2≤
133(b?2c?b?2a)?(a?b?c)， 2222011模拟卷（10） 第 6 页 共 7页
当且仅当?ABC是正三角形时等号成立．
1
四、证明：（1）若凸n边形中顶点三角形面积都小于等于，则取其顶点三角形中面积最
2
大的， C2 设为?A1B1C1，作?A2B2C2使得A1,B1,C1为?A2B2C2各边的中点． 则凸n边形其它顶点都在?A2B2C2中（包括边界），
否则与?A1B1C1面积最大矛盾．所以?A2B2C2覆盖了凸n边形， 其面积小于等于2．
C1
P1
O C2 P2 A1
A1 B1 B1
B2 B2 C1 A2 P3
A21
（2）若凸n边形中存在顶点三角形面积大于，设为?A如图设P1B1C1，1为直线B1C1与A12异侧的顶点中到直线B1C1距离最大的点；P2为直线AC11与B1异侧的顶点中到直线AC11距离最大的点；P过P3为直线A1B1与C1异侧的顶点中到直线A1B1距离最大的点；1，P2，P3分别作B1C1，AC1B1C1的位似中心11，A1B1的平行线，得到?A2B2C2．设?A2B2C2与?A为O，相似比为t(t?1)
则OC1:C1C2?1:(t?1) 所以：S?P1B1C1?(t?1)?SO1B，C，S?P2AC?(t?1)S?OAC1111S?P3A1B1?(t?1)S?OA1B1
t?t(S?OB1C1?S?OA1C1?S?OA1B1)≤1，所以：t?2
11312122所以：S?A2B2C2?t(S?OB1C1?S?OAC?S?OA1B1)?t?t(S?OB1C1?S?OAC?S?OA1B1)?2 1111又S六边形PBPAPC≤1，得即?A2B2C2覆盖了凸n边形．
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