合成算出速度和加速度的大小和方向．
解 (1) 速度的分量式为
vx?dx??10?60t dtdyvy??15?40t
dt22当t ＝0 时, vox ＝-10 m·ｓ-1 , voy ＝15 m·ｓ-1 ,则初速度大小为
v0?v0x?v0y?18.0m?s?1
设vo与x 轴的夹角为α,则
tanα?v0yv0x3??
2α＝123°41′
(2) 加速度的分量式为
ax?dvdvx?60m?s?2 , ay?y??40m?s?2
dtdt则加速度的大小为
a?ax?ay?72.1m?s?2
设a 与x 轴的夹角为β,则
22tanβ?ay2?? ax3β＝-33°41′(或326°19′)
1 -10 一升降机以加速度1.22 m·ｓ-2上升,当上升速度为2.44 m·ｓ-1时,有一螺丝自升降机的天花板上松脱,天花板与升降机的底面相距2.74 m．计算：(1)螺丝从天花板落到底面所需要的时间；(2)螺丝相对升降机外固定柱子的下降距离．
分析 在升降机与螺丝之间有相对运动的情况下,一种处理方法是取地面为参考系,分别讨论升降机竖直向上的匀加速度运动和初速不为零的螺丝的自由落体运动,列出这两种运动在同一坐标系中的运动方程y1 ＝y1(t)和y2 ＝y2(t),并考虑它们相遇,即位矢相同这一条件,问题即可解；另一种方法是取升降机(或螺丝)为参考系,这时,螺丝(或升降机)相对它作匀加速运动,但是,此
加速度应该是相对加速度．升降机厢的高度就是螺丝(或升降机)运动的路程．
解1 (1) 以地面为参考系,取如图所示的坐标系,升降机与螺丝的运动方程分别为
1y1?v0t?at2
21y2?h?v0t?gt2
2当螺丝落至底面时,有y1 ＝y2 ,即
11v0t?at2?h?v0t?gt2
22t?2h?0.705s g?a (2) 螺丝相对升降机外固定柱子下降的距离为
d?h?y2??v0t?12gt?0.716m 2解2 (1)以升降机为参考系,此时,螺丝相对它的加速度大小a′＝g ＋a,螺丝落至底面时,有
10?h?(g?a)t2
2t?2h?0.705s g?a(2) 由于升降机在t 时间内上升的高度为
1h??v0t?at2
2则 d?h?h??0.716m
1 -11 一质点P 沿半径R ＝3.0 m的圆周作匀速率运动,运动一周所需时间为20.0ｓ,设t ＝0 时,质点位于O 点．按(a)图中所示Oxy 坐标系,求(1) 质点P 在任意时刻的位矢；(2)5ｓ时的速度和加速度．
分析 该题属于运动学的第一类问题,即已知运动方程r ＝r(t)求质点运动的一切信息(如位置矢量、位移、速度、加速度)．在确定运动方程时,若取以点(0,3)为原点的O′x′y′坐标系,并采用参数方程x′＝x′(t)和y′＝y′(t)来表示圆周运动是比较方便的．然后,运用坐标变换x ＝x0 ＋x′和y ＝y0 ＋y′,将所得参数方程转换至Oxy 坐标系中,即得Oxy 坐标系中质点P 在任意时刻的位矢．采用对运动方程求导的方法可得速度和加速度．
解 (1) 如图(B)所示,在O′x′y′坐标系中,因θ?程为
2πt,则质点P 的参数方Tx??Rsin坐标变换后,在Oxy 坐标系中有
2π2πt, y???Rcost TTx?x??Rsin则质点P 的位矢方程为
2π2πt, y?y??y0??Rcost?R TT2π2π??ti???Rcost?R?jTT??r?Rsin?3sin(0.1πt)i?3[1?cos(0.1πt)]j
(2) 5ｓ时的速度和加速度分别为
v?dr2π2π2π2π?Rcosti?Rsintj?(0.3πm?s?1)jdtTTTT
d2r2π2π2π2πa?2??R()2sinti?R()2costj?(?0.03π2m?s?2)idtTTTT1 -12 地面上垂直竖立一高20.0 m 的旗杆,已知正午时分太阳在旗杆的正上方,求在下午2∶00 时,杆顶在地面上的影子的速度的大小．在何时刻杆影伸展至20.0 m？
分析 为求杆顶在地面上影子速度的大小,必须建立影长与时间的函数关系,即影子端点的位矢方程．根据几何关系,影长可通过太阳光线对地转动的角速度求得．由于运动的相对性,太阳光线对地转动的角速度也就是地球自转的角速度．这样,影子端点的位矢方程和速度均可求得．
解 设太阳光线对地转动的角速度为ω,从正午时分开始计时,则杆的影长为s＝htgωt,下午2∶00 时,杆顶在地面上影子的速度大小为
v?dshω??1.94?10?3m?s?1 2dtcosωt1sπarctan??3?60?60s ωh4ω当杆长等于影长时,即s ＝h,则
t?即为下午3∶00 时．
1 -13 质点沿直线运动,加速度a＝4 -t2 ,式中a的单位为m·ｓ-2 ,t的单位
