限时规范训练
1．(2016·西安模拟)如图所示，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于它的一个顶点恰好在抛物线x2＝8y的准线上．
3
，2
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点P(2，3)，Q(2，－3)在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，当A，B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值？请说明理由． x2y2
解析：(1)设椭圆C的标准方程为2＋2＝1(a>b>0)．
ab∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线x2＝8y的准线y＝－2上， ∴－b＝－2，解得b＝2. c3
又＝，a2＝b2＋c2， a2∴a＝4，c＝23.
x2y2
可得椭圆C的标准方程为＋＝1.
164(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵∠APQ＝∠BPQ，则PA，PB的斜率互为相反数， 可设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为－k， 直线PA的方程为：y－3＝k(x－2)，
?y－3＝k?x－2?联立?2，
?x＋4y2＝16
化为(1＋4k2)x2＋8k(3－2k)x＋4(3－2k)2－16＝0， 8k?2k－3?
∴x1＋2＝.
1＋4k2－8k?－2k－3?8k?2k＋3?
同理可得：x2＋2＝＝，
1＋4k21＋4k216k2－4－163k
∴x1＋x2＝， 2，x1－x2＝1＋4k1＋4k2kAB＝
y1－y2k?x1＋x2?－4k3
＝＝.
6x1－x2x1－x2
∴直线AB的斜率为定值3. 6
x2y2
2．(2016·广州五校联考)已知椭圆E：2＋2＝1的右焦点为F(c,0)且a>b>c>0，设短轴的一
ab个端点为D，原点O到直线DF的距离为→→
C，G两点，且|GF|＋|CF|＝4. (1)求椭圆E的方程；
→→→
(2)是否存在过点P(2,1)的直线l与椭圆E相交于不同的两点A，B且使得OP2＝4PA·PB成立？若存在，试求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
3→→
解析：(1)由椭圆的对称性知|GF|＋|CF|＝2a＝4，∴a＝2.又原点O到直线DF的距离为，
2bc3∴＝，∴bc＝3，又a2＝b2＋c2＝4，a>b>c>0，∴b＝3，c＝1. a2x2y2
故椭圆E的方程为＋＝1.
43
(2)当直线l与x轴垂直时不满足条件．
故可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为y＝k(x－2)＋1，代入椭圆方程得(3＋4k2)x2－8k(2k－1)x＋16k2－16k－8＝0，
8k?2k－1?16k2－16k－8
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
3＋4k23＋4k21
Δ＝32(6k＋3)>0，∴k>－.
2
→→→∵OP2＝4PA·PB，即4[(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)·(y2－1)]＝5， ∴4(x1－2)(x2－2)(1＋k2)＝5，即4[x1x2－2(x1＋x2)＋4](1＋k2)＝5，
3
，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于2
?16k－16k－8－2×8k?2k－1?＋4?(1＋k2)＝4×4＋4k＝5， ∴4??3＋4k23＋4k2?3＋4k2?
1解得k＝±，
2
1
k＝－不符合题意，舍去．
2
1
∴存在满足条件的直线l，其方程为y＝x.
2
3.如图，过顶点在原点、对称轴为y轴的抛物线E上的定点A(2,1)作斜率分别为k1、k2的直线，分别交抛物线E于B、C两点． (1)求抛物线E的标准方程和准线方程； (2)若k1＋k2＝k1k2，证明：直线BC恒过定点． 解析：(1)设抛物线E的标准方程为x2＝ay，a>0，
22
将A(2,1)代入得，a＝4.
所以抛物线E的标准方程为x2＝4y，准线方程为y＝－1.
(2)证明：由题意得，直线AB的方程为y＝k1x＋1－2k1，直线AC的方程为y＝k2x＋1－2k2，
2
??x＝4y联立?，消去y得x2－4k1x－4(1－2k1)＝0，
?y＝k1x＋1－2k1?
解得x＝2或x＝4k1－2，
因此点B(4k1－2，(2k1－1)2)，同理可得C(4k2－2，(2k2－1)2)． 于是直线BC的斜率
?2k1－1?2－?2k2－1?24?k1－k2??k1＋k2－1?k＝＝＝k1＋k2－1，
?4k1－2?－?4k2－2?4?k1－k2?
又k1＋k2＝k1k2，所以直线BC的方程为y－(2k2－1)2＝(k1k2－1)[x－(4k2－2)]， 即y＝(k1k2－1)x－2k1k2－1＝(k1k2－1)(x－2)－3. 故直线BC恒过定点(2，－3)．
4.(2016·金华模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)上点T(3，t)到焦点F的距离为4. (1)求t，p的值；
→→(2)设A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且OA·OB＝5(其中O为坐标原点)．
①求证：直线AB必过定点，并求出该定点P的坐标；
②过点P作AB的垂线与抛物线交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值． p
解析：(1)由已知得3＋＝4?p＝2，
2所以抛物线方程为y2＝4x， 代入可解得t＝±23.
(2)①证明：设直线AB的方程为x＝my＋t， y1y2，y1?，B?，y2?， A??4??4?
?y2＝4x，?联立?得y2－4my－4t＝0，
??x＝my＋t
2
2
则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4t. →→由OA·OB＝5得
?y1y2?2
＋y1y2＝5?y1y2＝－20或y1y2＝4(舍去)， 16
即－4t＝－20?t＝5，所以直线AB过定点P(5,0)； ②由①得|AB|＝1＋m2|y2－y1|
