以A，P，O，M四点共圆．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得A，P，O，M四点共圆，所以?OAM??OPM．由（Ⅰ）得OP?AP． 由圆心O在?PAC的内部，可知?OPM??APM?90°．所以?OAM??APM?90°． 2008 22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A点作直线AP垂直直线OM，垂足为P． （Ⅰ）证明：OM?OP?OA2；
（Ⅱ）N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点． 过B点的切线交直线ON于K．证明：∠OKM?90?． 22．解：（Ⅰ）证明：因为MA是圆O的切线，所以OA?AM． 又因为AP?OM．在Rt△OAM中，由射影定理知，OA2?OM?OP．
（Ⅱ）证明：因为BK是圆O的切线，BN?OK．同（Ⅰ），有OB2?ON?OK，又OB?OA， 所以OP?OM?ON?OK，即
ONOP?OMOKB A N O P K M ．又∠NOP?∠MOK，
所以△ONP∽△OMK，故∠OKM?∠OPN?90?． 2009
（22）本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
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如图，已知?ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，?B?600，F在AC上，且AE?AF。
(1)证明：B,D,H,E四点共圆：(2)证明：CE平分?DEF。
（22）解：（Ⅰ）在△ABC中，因为∠B=60°，所以∠BAC+∠BCA=120°.因为AD，CE是角平分线， 所以∠HAC+∠HCA=60°，故∠AHC=120°.于是∠EHD=∠AHC=120°.
wwwk5uomwwwk5uom因为∠EBD+∠EHD=180°，所以B,D,H,E四点共圆.
（Ⅱ）连结BH,则BH为∠ABC的平分线，得∠HBD=30°
由（Ⅰ）知B,D,H,E四点共圆，所以∠CED=∠HBD=30°.
又∠AHE=∠EBD=60°，由已知可得EF⊥AD，可得∠CEF=30°. 所以CE平分∠DEF.
wwwk5uo2010
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，已知圆上的弧
，过C点的圆切线与BA的延长线交于E点，
证明：（Ⅰ）∠ACE=∠BCD；（Ⅱ）BC2=BE×CD。
?,所以?BCD??ABC. AC?BC（22）解：（I）因为? 又因为EC与圆相切于点C，故?ACE??ABC，所以?ACE??BCD.
BCBE?CDBC（II）因为?ECB??CDB,?EBC??BCD,所以?BDC∽?ECB，故
即BC?BE?CD.
2，
2011
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，D，E分别为?ABC的边AB，AC上的点，且不与?ABC的顶点重合。已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2?14x?mn?0的两个根。 （Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；
（Ⅱ）若?A?90?，且m?4,n?6，求C，B，D，E所在圆的半径。 22）解：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中， AD×AB=mn=AE×AC, 即
ADAC?AEAB.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB
因此∠ADE=∠ACB 所以C,B,D,E四点共圆。
（Ⅱ）m=4, n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12.故 AD=2，AB=12.
取CE的中点G,DB的中点F，分别过G,F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH. 由于∠A=900，故GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5，DF= 故C,B,D,E四点所在圆的半径为52
[2012] （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
12(12-2)=5.
如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交于△ABC的外接圆于F，G两点，若CF//AB，
A证明：
（I） CD=BC； EGFD（II）△BCD∽△GBD
【解析】（1）CF//AB，DF//BC?CF//BD//AD?CD?BF CF//AB?AF?BC?BC?CD
（2）BC//GF?BG?FC?BD
BC//GF??GDE??BGD??DBC??BDC??BCD??GBD
不等式选讲
2007
22．Ｃ（本小题满分10分）选修4?5；不等式选讲设函数f(x)?2x?1?x?4．
BC（I）解不等式f(x)?2；（II）求函数y?f(x)的最小值． 22．Ｃ解：（Ⅰ）令y?2x?1?x?4，则 1??x?5， x≤?，?2?1?y??3x?3， ??x?4，．．．．．．．．．．．．．．．3分
2??x?5， x≥4．??y y?2 O 124 ? x 作出函数y?2x?1?x?4的图象，它与直线y?2的交点为(?7，2?． 2)和?，?3??5?5?所以2x?1?x?4?2的解集为(??，?7)??，???．
?3??（Ⅱ）由函数y?2x?1?x?4的图像可知，当x??2008 24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数f(x)?x?8?x?4． （Ⅰ）作出函数y?f(x)的图像； （Ⅱ）解不等式x?8?x?4?2．
24．解：
?4， x≤4，?（Ⅰ）f(x)???2x?12， 4?x≤8，
??4 x?8.?12时，y?2x?1?x?4取得最小值?92．
y 1 O 1 x 图像如下：
y 4 2 1 -2 -1 O1 2 3 4 -2 8 x -4
（Ⅱ）不等式x?8?x?4?2，即f(x)?2，由?2x?12?2得x?5． 由函数f(x)图像可知，原不等式的解集为(?∞，5)． 2009 （24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
如图，O为数轴的原点，A,B,M为数轴上三点，C为线段OM上的动点，设x表示C与原点的距离，y 表示C到A距离4倍与C道B距离的6倍的和.
（1）将y表示成x的函数；（2）要使y的值不超过70，x 应该在什么范围内取值？
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（24）解（Ⅰ）y?4|x?10|?6|x?20|,0?x?30.
（Ⅱ）依题意，x满足【9，23】
{
wwwk5uom4|x?10|?6|x?20|?70,0?x?30.解不等式组，其解集为
所以 x?[9,23]
2010 （24）（本小题满分10分）选修4-5，不等式选讲 设函数f(x)?|2x?4|?1 （Ⅰ）画出函数y?f(x)的图像
（Ⅱ）若不等式f(x)≤ax的解集非空，求a的取值范围。
（24） 解：
