（II）设AB的中点为N?x0,y0?，由（I）知x0?y0?1x0x1?x22??aca?b222??23c，y0?x0?c?c3。
22由PA?PB，得kPN??1，即
从而a?32,b?3故椭圆E的方程为??1得c?3，
x18?y9 ?1。
[2011]
（7）设直线L过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，L与C交于A ,B两点，AB为C的实轴长的2倍，则C的离心率为B （A）2 （B）3 （C）2 （D）3
（14）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1,F2在x轴上，离心率为直线L交C于A,B两点，且VABF2的周长为16，那么C的方程为 。
x222。过F1的
??1 168（20）（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足
MB//OA， MA?AB?MB?BA，M点的轨迹为曲线C。
y2（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值。 (20）解：(Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).
uuuruuuruuur所以MA=（-x,-1-y）, MB=(0,-3-y), AB=(x,-2).
ruuuruuuruuu1再由题意可知（MA+MB）? AB=0, 即（-x,-4-2y）? (x,-2)=0.所以曲线C的方程式为y=x2-2.
4111(Ⅱ)设P(x0,y0)为曲线C：y=x2-2上一点，因为y'=x,所以l的斜率为x0
42212因此直线l的方程为y?y0?x0(x?x0)，即x0x?2y?2y0?x0?0。
21则O点到l的距离d?|2y0?x|x?42020.又y0?142x0?2，所以d?2x0?4x?4202?12(x0?4?24x?420)?2,
当x0=0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2.
xa222[2012] （4）设F1F2是椭圆E：
?yb22?(a?b?0)的左、右焦点，P为直线x?3a2上一点，
??F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为（ ）C
（A）
12 （B）
23 （C）
34 （D）
45
2（8）等轴双曲线 C的中心在原点，焦点在X轴上，C与抛物线y?16x的准线交于A，B两点，
|AB|?43，则C的实轴长为C
（A）2 （B）22 （C）4 （D）8
（20）（本小题满分12分）
设抛物线C:x2?2py(p?0)的交点为F，准线为L，A为C上的一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交L于B，D两点。
（I）若?BFD?900,△ABD的面积为42求P的值及圆F的方程；
（II）若A，B,F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点m，n距离的比值。
【解析】（1）由对称性知：?BFD是等腰直角?，斜边BD?2p
点A到准线l的距离d?FA?FB?2p S?ABD?42?12?BD?d?42?p?2
圆F的方程为x2?(y?1)2?8 （2）由对称性设A(x0,x022p)(x0?0)，则F(0,2p2)
点A,B关于点F对称得：B(?x0,p?x02pp)?p?x022p??p2?x0?3p
223p 得：A(3p,3p2)，直线m:y?22x?p?x?23p3333?3y?3p2?0
x?2py?y?2x22p?y??xp??x?p?切点P(3p3,p6)
直线n:y?p6?33(x?3p3)?x?3y?36p?0
坐标原点到m,n距离的比值为
3p2:3p6?3。
2007-2012宁夏高考数学（理）函数与导数试题汇总
[2007]
110．曲线y?e2在点(4，e)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）D Ａ．
92e
2x2 Ｂ．4e
2Ｃ．2e
2Ｄ．e
214．设函数f(x)?(x?1)(x?a)x为奇函数，则a? ．-1
21．（本小题满分12分）设函数f(x)?ln(x?a)?x2
（I）若当x??1时，f(x)取得极值，求a的值，并讨论f(x)的单调性； （II）若f(x)存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于ln21．解：（Ⅰ）f?(x)?2e2．
1x?a?2x，依题意有f?(?1)?0，故a?32．
??从而f?(x)?2x?3x?1x?32?(2x?1)(x?1)x?32．f(x)的定义域为??，?∞?，
?2?3当?32?x??1时，f?(x)?0；当?1?x??12时，f?(x)?0；当x????12时，f?(x)?0．
从而，f(x)分别在区间??，?1?，?∞?单调增加，在区间??1，???，?2??2??3??1?1??单调减少． 2?（Ⅱ）f(x)的定义域为(?a，?∞)，f?(x)?2x?2ax?1x?a2．
方程2x2?2ax?1?0的判别式??4a2?8． （ⅰ）若??0，即?2?a?（ⅱ）若??0，则a?2，在f(x)的定义域内f?(x)?0，故f(x)无极值．
2或a??2．
(2x?1)x?22若a?2，x?(?2，?∞)，f?(x)?．
??2??2当x??时，f?(x)?0，当x???2，???，?∞?时，f?(x)?0，所以f(x)无极值． ??????222????2若a??2，x?(2，?∞)，f?(x)?(2x?1)x?22?0，f(x)也无极值．
（ⅲ）若??0，即a?2或a??2，则2x?2ax?1?0有两个不同的实根x1?2?a?a?222，
x2??a?a?222．
当a??2时，x1??a，x2??a，从而f?(x)在f(x)的定义域内没有零点，故f(x)无极值． 当a?2时，x1??a，x2??a，f?(x)在f(x)的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知f(x)?∞)． 在x?x1，x?x2取得极值．综上，f(x)存在极值时，a的取值范围为(2，f(x)的极值之和为f(x1)?f(x2)?ln(x1?a)?x1?ln(x2?a)?x2?ln2212?a?1?1?ln2?ln2e2．
[2008] 10、由直线x?A.
15412，x=2，曲线y?B.
1741x及x轴所围图形的面积是（ ）D
12ln2 1x?b C. D. 2ln2
21、（本小题满分12分）设函数f(x)?ax?(a,b?Z)，曲线y?f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为
（1）求y?f(x)的解析式；（2）证明：曲线y?f(x)的图像是一个中心对称图形，并求其对称y?3。中心；（3）证明：曲线y?f(x)上任一点处的切线与直线x?1和直线y?x所围三角形的面积为定值，并求出此定值。
1?9?2a??1，a?，???a?1，2?b?1?421．解：（Ⅰ）f?(x)?a?，于是?解得?或? 21b??1，8(x?b)??a??b??.?0，2(2?b)??3??因a，b?Z，故f(x)?x?1x?1．
1x（Ⅱ）证明：已知函数y1?x，y2?所以函数g(x)?x?而f(x)?x?1?1x?11x都是奇函数．
也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形．
?1．可知，函数g(x)的图像按向量a?(1，1)平移，即得到函数f(x)的图像，故函
数f(x)的图像是以点(1，1)为中心的中心对称图形．
?1?1?（Ⅲ）证明：在曲线上任取一点?x0，x0?．由知，过此点的切线方程为 f(x)?1??02x?1(x0?1)0??y?x0?x0?1x0?12?1??1?2(x0?1)???x0?1?x0?1x?1x?1(x?x)．令得，切线与直线交点为y??1，?． ?0x0?1??x0?1?2x0?1)．令y?x得y?2x0?1，切线与直线y?x交点为(2x0?1，直线x?1与直线y?x的交点为(1， 1)．
从而所围三角形的面积为
1x0?12x0?1?12x0?1?1?122x0?12x0?2?2．
所以，所围三角形的面积为定值2．
[2009]
（12）用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值 设f（x）=min{2x, x+2,10-x} (x? 0),则f（x）的最大值为C
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
（21）（本小题满分12分）已知函数f(x)?(x?3x?ax?b)e（1）如a?b??3，求f(x)的单调区间；
32?x
（2）若f(x)在(??,?),(2,?)单调增加，在(?,2),(?,??)单调减少，证明???>6.
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