第43练 数列小题综合练
[基础保分练]
1
1．在数列{an}中，a1＝－2，an＋1＝1－，则a2019的值为( )
an113
A．－2B.C.D. 322
2．在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝29，则a3＋a6＋a9等于( ) A．13B．18C．20D．22
3．(2019·福建省莆田市第一中学月考)已知等比数列{an}中，an>0，a1，a99为方程x－10x＋16＝0的两根，则a20·a50·a80等于( ) A．32B．64C．256D．±6
4．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递增，若数列{an}是等差数列，且a3>0，则f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋f(a4)＋f(a5)的值( ) A．恒为正数 C．恒为0
B．恒为负数 D．可正可负
2
5．(2018·海南联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，an＋an＋1＝2n＋1，则2019等于( )
A．1010B．1008C．2D．1
6．已知函数f(x)＝x＋ax的图象在点A(0，f(0))处的切线l与直线2x－y＋2＝0平行，若
?1数列?
?fn?
?的前n项和为Sn，则S20的值为( ) ?
2
S2019
A.
325191192010B.C.D. 462202562011
Sn7n＋2a2＋a20
7．两个等差数列{an}和{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则等于( )
Tnn＋3b7＋b15
93779149
A.B.C.D. 481424
8．(2019·宁夏石嘴山市第三中学月考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S8＝36，则数列?A.
??anan＋1?
1?
?的前n项和为( )
1nn－1n－1B.C.D. n＋1n＋1nn＋1
9．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，且数列{Sn}也为等差数列，则a10＝________. 10．已知数列{an}满足：an－(－1)an－1＝n(n≥2)，记Sn为{an}的前n项和，则S40＝________.
[能力提升练]
n 1
1．已知数列{an}中，an>0，a1＝1，an＋2＝51＋55－1＋5A.B.C.D. 2222
1
，a100＝a96，则a2018＋a3等于( ) an＋1
2．(2019·湖南省桃江县第一中学月考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为( ) A．2B．3C．4D．5
3．已知每项均大于零的数列{an}中，首项a1＝1且前n项和Sn满足SnSn－1－Sn－1Sn＝2SnSn－1(n∈N且n≥2)，则a81等于 ( ) A．641B．640C．639D．638
4．(2019·北京工业大学附属中学月考)若三个非零且互不相等的实数x1，x2，x3成等差数列112且满足＋＝，则称x1，x2，x3成一个“β等差数列”．已知集合M＝{x||x|≤100，x∈Z}，
*
x1x2x3
则由M中的三个元素组成的所有数列中，“β等差数列”的个数为( ) A．25B．50C．51D．100
a1＋2a2＋…＋2n－1an5．对于数列{an}，定义Hn＝为{an}的“优值”，现在已知某数列{an}的“优
n值”Hn＝2
n＋1
，记数列{an－kn}的前n项和为Sn，若Sn≤S5对任意的正整数n恒成立，则实数
k的取值范围是________．
6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，在数列{bn}中，bn＝a3n－2＋a3n－1＋a3n，且b1＝6，b2＝9，则
bn·Sn的最小值为________． n2 2
答案精析
基础保分练
1．B 2.A 3.B 4.A 5.A 6.A 7.D 8．B [设等差数列{an}的首项为a1，公差为d. ∵a??
a1＋4d＝5，5＝5，S8＝36，∴?
?
?8a1＋28d＝36，
∴???a1＝1，??d＝1，
∴an，则
1
1
n＝a＝n＋
nan＋1n＝1n－1n＋1， ∴数列??
1??a?的前n项和为1－1＋1－11111nan＋1?
1223＋3－4＋…＋n－n＋1 ＝1－1n＋1＝nn＋1
，故选B.] 9．19 10.440 能力提升练
1．C [∵a1
1＝1，an＋2＝a， n＋1
∴a13＝
a＋1＝12
. 1∵a，∴a1
100＝a9696＝a100＝a 98＋1＝
1
1
，整理得a2
96＋a96－1＝0， a＋1
＋196解得a－1＋5－1－5
96＝2或a96＝2，
∵a－1＋5
n>0，∴a96＝2.
∴a1a＝－1＋52，a1－1＋51－1＋5
98＝
100＝a＝，…，a2018＝＝. 96＋198＋12a2016＋12
∴a－1＋515
2018＋a3＝2＋2＝2.
故选C.]
3
2．C [因为S4＝2(a2＋a3)， 所以a2＋a3≥5，
又S5＝5a3，所以a3≤3，而a4＝3a3－(a2＋a3)，故a4≤4，当a2＝2，a3＝3时等号成立，所以
a4的最大值为4.]
3．B [因为SnSn－1－Sn－1Sn＝2SnSn－1，所以Sn－Sn－1＝2，
即{Sn}为等差数列，首项为1，公差为2，所以Sn＝1＋2(n－1)＝2n－1， 所以Sn＝(2n－1)，
因此a81＝S81－S80＝161－159＝640，故选B.]
112
4．B [由三个非零且互不相等的实数x1，x2，x3成等差数列且满足＋＝，知
2
2
2
x1x2x3
2x2＝x1＋x3，??
?112＋＝??x1x2x3
消去x2，
并整理得(2x1＋x3)(x1－x3)＝0. 所以x1＝x3(舍去)，x3＝－2x1， 1于是有x2＝－x1.
2
在集合M＝{x||x|≤100，x∈Z}中，三个元素组成的所有数列必为整数列， 所以x1必为2的倍数，且x1∈[－50,50]，x1≠0，故这样的数组共50组．]
?712?5.?，? ?35?
a1＋2a2＋…＋2n－1ann＋1
解析 由题意，Hn＝＝2，
n则a1＋2a2＋…＋2
n－1
an＝n2n＋1.
n≥2时，a1＋2a2＋…＋2n－2an－1
＝(n－1)2，两式相减， 则2
n－1
nan＝n2n＋1－(n－1)2n＝(n＋1)2n，
则an＝2(n＋1)，对a1也成立， 故an＝2(n＋1)，
∴an－kn＝(2－k)n＋2，记bn＝an－kn，
则数列{bn}为等差数列，故Sn≤S5对任意的正整数n恒成立化为b5≥0，b6≤0，即
?????
－k＋2≥0，－k＋2≤0，
712
解得≤k≤，
35
?712?则实数k的取值范围是?，?. ?35?
4
6．8
解析 设等差数列{an}的公差为d，
∵bn＝a3n－2＋a3n－1＋a3n，∴b1＝a1＋a2＋a3＝6，b2＝a4＋a5＋a6＝9， ∴b2－b1＝3d＋3d＋3d＝9－6， 112
解得d＝，∴a1＋a1＋＋a1＋ 3335
＝6，解得a1＝，
3∴Sn＝na1＋
nn－
2
d＝n＋n(n－1)＝
5316
nn＋
6
，
515151
∴bn＝a3n－2＋a3n－1＋a3n＝＋(3n－2－1)×＋＋(3n－1－1)×＋＋(3n－1)×＝3n＋3＝
3333333(n＋1)，
bn·Sn∴2＝
nn＋
n2
nn＋
6
＝n＋
2nn＋
n2＋10n＋9＝ 2n1?9?＝?n＋＋10?
n2??1?
≥?10＋22?
n·?＝8， n?
9?
当且仅当n＝3时取等号，故答案为8.
5
