P 8 2740 8117 81E??0?随机变量ξ的数学期望
84017148?2??4??27818181 12分
40?2?122(2，0)Caab20.解：（Ⅰ）因为点在椭圆上，所以， 所以?4， ------- 1分
a2?b21c11??2C4， ------- 2分 因为椭圆的离心率为2，所以a2，即ax2y2??12Cb?343解得， 所以椭圆的方程为. ------- 4分
33y?(?，)0P(?1，y)022， （Ⅱ）设，
①当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为
y?y0?k(x?1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
?3x2?4y2?12，?22y?y0?k(x?1)，(3?4k2)x2?(8ky0?8k2)x?(4y0?8ky?4k?12)?0， ?0由得
8ky0?8k28ky0?8k2x1?x2x1+x2???=?2=?122MN3?4k3?4k2所以， 因为P为中点，所以，即.
kMN?所以
3(y0?0)4y0， ------- 8分
kl??4y04yy?y0??0(x?1)3，所以直线l的方程为3，
因为直线l?MN，所以
y??即
4y011(x?)(?，0)34 ，显然直线l恒过定点4. ------- 10分
1(?，0)MNMNx??1lx4②当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线为轴，也过点. 1(?，0)综上所述直线l恒过定点4.------- 12分
21.解：（1）设x?[?e,0)，则?x?(0,e]，所以f(?x)??ax?ln(?x)又因为f(x)是定义在
[?e,0)(0,e]上的奇函数，所以f(x)??f(?x)?ax?ln(?x)
?ax?ln(?x),x?[?e,0)f(x)???ax?lnx,x?(0,e]故函数f(x)的解析式为… 2分
（2）证明：当x?[?e,0)且a??1时，
f(x)??x?ln(?x),g(x)?ln(?x)ln(?x)1h(x)???x，设?x2 f?(x)??1?因为1x?1???xx，所以当?e?x??1时，f(x)?0，此时f(x)单调递减；当?1?x?0f(x)min?f(?1)?1?0 ?时，f(x)?0，此时f(x)单调递增，所以
h?(x)? 又因为ln(?x)?1?x2，所以当?e?x?0时，h(x)?0，此时h(x)单调递减，所以
1111h(x)max?h(?e)?????1?f(x)mine222 所以当x?[?e,0)时，f(x)?h(x),即f(x)?g(x)?12 …………………………6分
（3）解：假设存在实数a，使得当x?[?e,0)时，f(x)?ax?ln(?x)有最小值是3，
f?(x)?a?则1ax?1?xx f?(x)??1?0x．f(x)在区间[?e,0)上单调递增，
（ⅰ）当a?0，x?[?e,0)时，f(x)min?f(?e)??1，不满足最小值是３
?（ⅱ）当a?0，x?[?e,0)时，f(x)?0，f(x)在区间[?e,0)上单调递增，
f(x)min?f(?e)??ae?1?0，也不满足最小值是３
11??a?0f?(x)?a??0x（ⅲ）当e，由于x?[?e,0)，则，故函数f(x)?ax?ln(?x) 是[?e,0)上的增函数．所以
f(x)min?f(?e)??ae?1?3，解得a??41??ee（舍去）
a??（ⅳ）当111?e?x?f?(x)?a??0e时，则当a时，x，此时函数f(x)?ax?ln(?x)是减函
11?x?0f?(x)?a??0x数；当a时，，此时函数f(x)?ax?ln(?x)是增函数． 11f(x)min?f()?1?ln(?)?32aa所以，解得a??e
2综上可知，存在实数a??e，使得当x?[?e,0)时，f(x)有最小值３ …………12分
22.（Ⅰ）因为AB∥CD，所以∠PAB=∠AQC, 又PQ与圆O相切于点A，所以∠PAB=∠ACB,
ACAB?因为AQ为切线，所以∠QAC=∠CBA,所以△ACB∽△CQA,所以CQAC,
所以AC2?CQ?AB ………5分
BPAPAB1???PCPQQC3,由AB=3,BP=2得QC?33,PC=6 （Ⅱ）因为AB∥CD，AQ=2AP，所以
2?AP?PB?PC?12?QA?43 AP为圆O的切线
又因为AQ为圆O的切线
?AQ2?QC?QD?QD?1633 ………10分
??2?acos??3??x?acos?????3?bsin???(2,3)3， ?34；代入?y?bsin?得?23.解：（1）将M及对应的参数φ= ，?a?4x2y2???1b?24所以?，所以C1的方程为16，
(2,)4代入得： 设圆C2的半径R，则圆C2的方程为：ρ=2Rcosθ（或（x-R）2+y2=R2），将点D
∴R=1 ∴圆C2的方程为：ρ=2cosθ（或（x-1）2+y2=1）--------5分
??2cos2?（2）曲线C1的极坐标方程为：
16??2sin2?4?1?，将A（ρ1，θ），Β（ρ2，θ+2）代入得：
?1cos?1622??1sin?422?1，
??22cos2(??)162???22sin2(??)42?1
cos2?sin2?sin2?cos2?115??(?)?(?)???22??216416416416 所以1111即
?21?5?的值为16。 --------10分
221124.解：（Ⅰ）当a=4时，不等式即|2x+1|-|x-1|≤2，当x＜?2时，不等式为-x-2≤2， 解 得?4≤x＜1112?2；当?2≤x≤1时，不等式为 3x≤2，解得?2≤x≤3 ；当x＞1时，不等式为x+2≤2，此时x不存
在．
2综上，不等式的解集为{x|?4≤x≤3} --------5分
（Ⅱ）设f（x）=|2x+1|-|x-1|=
??x?2??3x?x?2?x???121?x?12 x?1
233log2a??2，解得a≥4， 故f（x）的最小值为?2，所以，当f（x）≤log2a有解，则有2,??)即a的取值范围是4。 --------10分
[
