（四）（本题2个小题，共16分）
23．“速算”是指在特定的情况下用特定的方方进行计算，它有很强的技巧性．如：末位数字相同，手位数字和为十的两位数想乘，它的方法是：两首位相乘再加上末位得数作为前积，末位的平方作为后积（若后积是一位数则十位补0），前积后面天上后积就是得数． 如：84×24=100×（8×2+4）+4=2016 42×62=100×（4×6+2）+2=2604
（1）仿照上面的方法，写出计算77×38的式子 78×38= 100×（7×3+8）+8 = 2964 ；
（2）如果分别用a，b表示两个两位数的十位数字，用c表示个位数字，请用含a、b、c的式子表示上面的规律，并说明其正确性；
（3）猜想4418×5618怎样用上面的方法计算？写出过程． 【考点】有理数的加法．
【分析】（1）仿照以上方法求出原式的值即可；
（2）根据题示规律等式右边为十位数的积与个位数和的100倍加上个位数的平方，列式表示即可，验证可根据整式乘法展开结合十位数字和为10变形可得；
（3）类比（2）中方法4918×5118=10000×（49×51+18）+18，验算过程可将4918×5118写成（49×100+18）（51×100+18）后展开、合并可得．
【解答】解：（1）78×38=100×（7×3+8）+8=2964； 故答案为：100×（7×3+8）+8，2964；
（2）（10a+c）（10b+c）=10[10ab+（a+b）c]+c=100（ab+c）+c；
（3）4918×5118=（49×100+18）（51×100+18） =49×51×10000+49×100×18+51×100×18+18 =10000×49×51+100×18×（49+51）+18 =10000×49×51+10000×18+18 =10000×（49×51+18）+18，
即4918×5118=10000×（49×51+18）+18．
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24．如图1，等腰直角三角形ABC的顶点B在直线l上，AB=BC，∠ABC=90°，AD垂直直线l于D，CE垂直直线l于E．
（1）求证：△ADB≌△BEC．
（2）如图2，若F是AC的中点，连接BF，请你再连接DF和EF，试判断△DEF的形状，并证明你的结
论．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【分析】（1）先由等腰直角三角形得出AB=AC，再由垂直和等腰直角三角形的性质判断出∠DAB=∠CBE，从而得出结论；
（2）有等腰直角三角形得出AF=BF，从而判断△ADF≌BEF，用互余得出∠DFE=90°，即可； 【解答】解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AB=AC．∠ABC=90°， ∵AD⊥l，CE⊥l，
∴∠ADB=∠BEC=∠ABC=90°，
∴∠DAB+∠DBA=90°，∠DBA+∠CBE=90°， ∴∠DAB=∠CBE， ∴△ADB≌△BEC，
（2）△DEF是等腰直角三角形，
理由：∵△ABC是等腰直角三角形，F为斜边AC中点， ∴∠BAF=∠CBF=45°，AF=BF， ∵△ADB≌△BEC， ∴AD=BE，∠BAD=∠CBE， ∴∠BAD∠+∠BAF=∠CBE+∠CBF， ∴∠DAF=∠EBF， ∴△ADF≌△BEF， ∴DF=EF，∠AFD=∠BFE， ∵∠AFD+∠BFD=90°， ∴∠BFD+∠BFE=90°， ∴∠DFE=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形．
（五）（本题12分）
25．如图，已△ABC中，AB=AC=12厘米，BC=9厘，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，1秒钟时，△BPD与△CQP是否全等，请说明； ②点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD≌△CPQ？ （2）若点Q以②的运动速度从点C出发点P以原来运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC的三边运动，求多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
【考点】全等三角形的判定．
【分析】（1）①先求得BP=CQ=3，PC=BD=6，然后根据等边对等角求得∠B=∠C，最后根据SAS即可证明； ②因为VP≠VQ，所以BP≠CQ，又∠B=∠C，要使△BPD与△CQP全等，只能BP=CP=4.5，根据全等得出CQ=BD=6，然后根据运动速度求得运动时间，根据时间和CQ的长即可求得Q的运动速度；
（2）因为VQ＞VP，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得．
【解答】解：（1）①∵t=1（秒）， ∴BP=CQ=3（厘米） ∵AB=12，D为AB中点， ∴BD=6（厘米）
又∵PC=BC﹣BP=9﹣3=6（厘米） ∴PC=BD ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， 在△BPD与△CQP中，
，
∴△BPD≌△CQP（SAS）， ②∵VP≠VQ， ∴BP≠CQ， 又∵∠B=∠C，
要使△BPD≌△CPQ，只能BP=CP=4.5， ∵△BPD≌△CPQ， ∴CQ=BD=6．
∴点P的运动时间t=此时VQ=
=
==1.5（秒），
=4（厘米/秒）．
（2）因为VQ＞VP，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程 设经过x秒后P与Q第一次相遇，依题意得4x=3x+2×12， 解得x=24（秒）
此时P运动了24×3=72（厘米）
又∵△ABC的周长为33厘米，72=33×2+6，
∴点P、Q在BC边上相遇，即经过了24秒，点P与点Q第一次在BC边上相遇．
