微探究
供应站的最佳位置的确定 录入：尹平 QQ：1021843090
问题情境
先阅读下面的材料，然后解答问题：
在一条直线上有依次排列的n（n＞1）台机床在工作，我们要设置一个零件供应站P，使这n台机床到供应站P的距离做那个和最小，要先解决这个问题，先“退”到比较简单的情形：如图甲，如果直线上有2台机床时，很明显设在A1和A2之间的任何地方都行．
如图乙，如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床A2处最合适，因为如果P放在A2处，甲和丙所走距离之和恰好为A1到A3的距离，而如果把P放在别处，例如D处，那么甲和丙所走的距离之和仍是A1到A3的距离，可是乙还得走从A2到D的这一段，这是多出来的．因此P放在A2处是最佳选择．
图甲 图乙 不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，应设在第3台位置．
问题（1）：有n台机床时，P应设在何处？
问题（2）：根据问题（1）的结论，求|x-1|+|x-2|+|x-3|+?|x-617|的最小值． （山东省烟台市中考题）
建立模型 如图，
a1a2a3an以这条直线画数轴，n个供应站是在数轴上的n个点，
这些点表示的有理数分别为a1，a2，a3，?，an． 问题转化为：在数轴上找一点P，其表示的有理数为x，当x取何值时，y=|x-a1|+|x- a2|+|x- a3|+?|x- an |取得最小值．由上面的讨论或绝对值的几何意义可得： 当n为偶数时，若an≤x≤an时，则y的值最小；
22?1当n为奇数时，若x=an?1时，则y的值最小．
2视野窗
数学建模是近年数学教育、考试中最热门的一个话题，所谓数学建模，简单地说，就是在解决生活、生产、科研等现实问题时，通过字母化、抽象化等过程把问题中的关系用数学形式构建出来，然后用数学知识、方法最终解决问题．
其一般情形是y=k1|x-a1|+k2|x- a2|+k3|x- a3|+?kn|x- an |（k1，k2，k3，?，kn为非负有理数），n=k1+k2+k3+?+kn．
nn?1与之间处， y取得最小值； 22n?1（2）当n为奇数，则在系数和为处，y取得最小值．
2（1）当n为偶数，则在系数和为
例1 求|x-1|+|x-2|+|x-3|+?|x-617|的最小值．
试一试 由于x的任意性、无限性，因此通过逐个求出代数式的值解题明显困难，不妨从绝
对值的几何意义，利用数轴入手．
例2 已知|x+2|+|1-x|=9—|y-5|—|1+y|，求x+y的最大值与最小值． （江苏省竞赛题） 试一试 由条件得|x+2|+|1-x|+|y-5|+|y+1|=9，由绝对值的几何意义确定x、y的取值范围． 视野窗
瑞士著名数学家伯努利墓碑上的碑文是： 纵使变化 依然故我
下面问题时你能解的北京大学自主招生试题：求|x-1|+|2x-1|+?|2011x-1|的最小值． 尽管问题的形式已有较大改变，但解与绝对值相关的最值问题的方法未变，解题的关键是通过变形，使问题向熟悉的形式发展．
练一练
1.如图，工作流程线上A、B、C、D处各有1名工人，且AB=BC=CD，现在工作流程线上要安放一个工具箱，使4人到工具箱取工具所花费的总时间最少．那么这个工具箱的安放位置是__________.
（第1题） （第5题）
2.代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值是__________.
（北京市“迎春杯”竞赛题） 3.当|x-2|+|x-3|的值最小时，|x-2|+|x-3|—|x-1|的值最大是________，最小是_________. （第22届“希望杯”邀请赛试题） 4.已知|x|≤3，|y|≤1，|z|≤4且|x-2y+z|=9，则xyA.432 B.576 C.-432 D.-576
（第22届“希望杯”邀请赛试题）
5.如图，在一条笔直的公路上有7个村庄，其中A、B、C、D、E、F离城市距离分别为4，10，15，1，19，20千米，而村庄G正好是AF中点．现要在某个村庄建一活动中心，使各村到活动中心路程之和最短，则活动中心应建在（ ） A．A处 B．C处 C．G处 D．E处
（江苏省竞赛题）
6.当x满足（ ）时，|1.5x-0.5|+|2.5x-0.5|+|3.5x-0.5|+|4.5x-0.5|+|5.5x-0.5|+|6.5x-0.5|的值取得最小．
22011z的值是（ ）
31111≤x≤ B． ≤x≤ 119791111C．≤x≤ D．≤x≤
713115A．
（“五羊杯”竞赛题） 7．（1）求|x-1|+2|x-3|+3|x-4|的最小值．
（2）求|x-2|+|x-4|+|x-6|+?+|x-2000|的最小值． 8.已知有理数x，y，z满足（|x+1|+|x-2|）（|y-1|+|y-3|）（|z-1|+|z+2|）=18，求x+2y+3z的最大值与最小值．
