例1 t取什么值时，下列二次型是正定的： 1）x1?x2?5x3?2tx1x2?2x1x3?4x2x3
2222）x1?4x2?x3?2tx1x2?10x1x3?6x2x3
222解 1) 二次型的矩阵为
?1t?1??? A??t12?
??125???因为A的各阶顺序主子式为 ?1?1?0 ?2?1t?0 ?3?A?tt11t?12?0 51?12时原二次型为正定，由此得
?1?t2?0 ?2?5t?4t?0?解上面的不等式组，可得?2) 二次型的矩阵为
4?t?0. 5?1t5???A??t43?
?531???当A的所有顺序主子式都大于零时，即
1t51t?4?t2?0 ?3?A?t?1?1?0 ?2?t4时原二次型为正定的，由此得
43??t2?30t?105?0
531?4?t2?0 ?2??t?30t?105?0但此不等式组无解，即不存在t值使原二次型为正定.
（二） 正定矩阵的性质
1 若A是正定矩阵，则A的行列式大于零.
证明 A是正定矩阵，则A与单位矩阵E合同，所以有可逆矩阵C使
A?C/EC?C/C. 两边取行列式，就有A?CC/?C?0.
2 若A是正定矩阵，则A?1也是正定矩阵.
4
2证明 如果A正定，由性质1知A?0，因而A可逆，由定理1知存在可逆
?1/矩阵T，使A?TT，将等式两边取逆有A?1?T?1(T/)?1，令C?(T)，于是
/A?1?C/C?C/EC，由定理1则A?1也是正定矩阵.
3 若A是正定矩阵，则对任意的正实数k，kA也是正定矩阵.
证明 因为A正定，所以对任意n维实向量X?0，都有X/AX?0.若k>0，则X/(kA)X?k(X/AX)?0，故kA为正定矩阵.
4 若A是正定矩阵，则A的伴随矩阵A*也是正定矩阵.
证明 因为A正定，因而A?0，且由性质2知A?1也正定，而A?AA，又由性质3知A*为正定矩阵.
5 正定矩阵只能与正定矩阵合同.
证明 若A正定，则A与E合同，若B也正定，则B也与E合同，即A、B都与单位阵E合同，故A、B合同.
反之，若A、B合同，且A正定，则B为实对称的，A与E合同，所以B与E合同，故B也为正定的.
综上，结论成立.
6 若A是正定矩阵，则对于任意的正整数k，Ak也是正定矩阵. 证明 因为A正定，那么 当k=2m时，Ak*?1?AmAm?(Am)/Am，Am为实可逆矩阵，由定理1知Ak正定; Ak?(Am)AAm?(Am)/AAm，Am为实可逆矩阵，因而Ak与
当k=2m+l时，
A合同，由性质5知
Ak为正定矩阵.
所以，无论哪种情况，Ak都正定.
7 若A，B为正定矩阵，对任意的正实数a，b ，则aA+bB也为正定矩
阵.
证明 因A，B为正定矩阵，a，b>0由性质3知X/aAX,X/bBX均为正定的二次型，于是X/(aA?bB)X?X/aAX?X/bBX?0也必定为正定的二次型，故aA+bB为正定的矩阵.特别的当a=b=1，A+B为正定矩阵.
8 正定矩阵的主对角线上的元素都大于零.
5
证明 因为A是正定矩阵，于是对任何X?(x1,x2,?,xn)?0， 恒有
/f(x1,x2,?,xn)?XAX???aijxixj?0，其中aij(i,j?1,2,?,n)为A的元
/i?1j?1nn素，令Xi?(0,?,0,1,0,?,0)/，即Xi为第i个分量为1，其余的分量为0的向量，
/i?1,2,?,n，那么XiAXi?aii?0 i?1,2,?,n，证毕.
9 正定矩阵乘积的特征根都大于零.
证明 设A，B都是正定矩阵，据定理1知，必有可逆矩阵P、Q，使得
A?P/P,B?Q/Q，于是
AB?P/PQ/Q?(P/PQ/)Q，
令 T?P/PQ/ 则 AB=TQ.
(/PP/Q)?(而 QT?Q//PQ)(/PQ).
因为PQ/为可逆矩阵，所以QT为正定矩阵，从而QT的特征值全为正数. 又
?1 ?I?AB??I?TQ?Q(?I?QT)Q??I?QT
即AB与QT有相同的特征多项式，从而它们有完全相同的特征值，因此，AB的特征值都大于零.
10 若A，B都是正定矩阵，并且AB=BA，则AB也必为正定矩阵. 证明 事实上由性质9易知AB的特征根都大于零，当AB=BA时
(AB)/?B/A/?BA?AB，说明AB是对称的，从而可知AB是正定的.
?B0?11 设A???，其中B，C分别为k阶和m阶实对称矩阵，且B，
0C??C都是正定矩阵，则A为正定矩阵.
///Y,Y)证明 ?X/?(x1,?xn)?0，其中n=k+m，令X/?(Y，其中1?(x1,?xk)，12Y2/?(xk?1,?xn)，则Y1,Y2不全为0，于是X/AX?Y1/BY1?Y2/CY2?0，即A为正定矩阵.
12 设A为n阶正定矩阵，B为n?m实矩阵，且r(B)=m，则m阶实方阵
B/AB为正定矩阵.
证明 首先，由于A为正定的，因此BAB是m阶实对称矩阵.
/ 6
其次，设X?(x1,x2,?,xm)/?0，且令B?(?1,?2,?,?m)，其中?1,?2,?,?m是矩阵B的列向量，由于r(B)=m，故B的列向量组线性无关，从而
/(BX)A(BX)?0，即.但由于A是正定的，故BX?x1?1?x????x??022mmX/(B/AB)X?0，因此，B/AB是正定矩阵.
13 A为n阶正定矩阵，对任意n阶可逆方阵C，C/AC正定.
证明 A为n阶正定矩阵，则由于正定二次型f(x1,x2,?,xn)?X/AX通过实满秩线性代换X=CY后仍为正定的，故方阵C/AC为正定矩阵.
?A 14 A为n阶正定矩阵，A??1/?A2/A2?/?1AA?A，则和132A1A2是正定的. ?A3?0?/?ETT? 证明 由于A正定，令则AT?/?1?，
??A2A1E?0?A1????(1) ，/?10A?AAA3212??/?1但T为实可逆矩阵，而合同不改变正定性，所以由（1）式知A1和A3?A2A1A2都是正定矩阵.
15 A，B均为n阶正定矩阵，则A?B?A?B.
证明 因A合同于E，故存在可逆矩阵P 使P/AP?E，由于B是实对称矩
阵，则PBP也是实对称矩阵.从而存在正交矩阵Q，使
/Q/(P/BP)Q?diag(?1,?2,?,?n)，其中?1,?2,?,?n为P/BP的实特征值.令
T=PQ，则T/AT?E，TBT?diag(?1,?2,?,?n)，其中?i?0，i?1,2,?,n，于是
T2/T/(A?B)T?diag(1??1,1??2,?,1??n)
A?B??(1??i)?1???i?Ti?1i?12nn2A?T2B
两边消去T，即得A?B?A?B.
二 半正定二次型
（一）半正定二次型的判定
/定理2 对于实二次型f(x1,x2,?,xn)?XAX，其中A是实对称的，
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