有定二次型的讨论
摘要：二次型的理论起源于化二次曲线和二次曲面方程为标准形式的问题。现在，二次型
的理论已广泛应用于各个方面，其中有定二次型在工程技术和最优化等问题上有其重要的应用。本文较为系统的讨论了二次型的有定性，即对正定、半正定、负定、半负定二次型的判定给出了若干等价条件及证明，并讨论了正定、半正定、负定、半负定矩阵的若干性质。
关键词： 正定二次型 半正定二次型 负定二次型 半负定二次型
二次齐次多项式在实际工作和理论研究中是一种重要的多项式，它不仅在几何中出现，而且在数学的许多分支以及物理、力学中也常常碰到。通过对二次型的有定性的讨论无论在理论研究方面，或是在实际应用方面都有重要的意义。到目前为止，有关实二次型的正定、半正定、负定、半负定的讨论已有许多，但对二次型的有定性缺乏整体性、系统性的讨论，本文尽可能多的给出了二次型的有定性的判定及相关性质。
定义1 设A为n阶实对称矩阵，如果对任意非零向量X,实二次型
f(x1,x2,?,xn)?X/AX?0或(?0)成立，则称二次型f(x1,x2,?,xn)?X/AX为正定
(负定)二次型，A称为正定(负定)矩阵。
定义2 如果对于任意非零向量X，都有f(x1,x2,?,xn)?X/AX?0或(?0)成立，则称二次型f(x1,x2,?,xn)?X/AX为半正定(半负定)二次型，A称为半正定(半负定)矩阵。
定义3 二次型及其矩阵的正定(负定)，半正定(半负定)统称为二次型及其矩阵的有定性；不具有有定性的二次型及其矩阵称为不定的。
由定义可知，二次型的有定性与矩阵的有定性是等价的。
一 正定二次型
（一）正定二次型的判定
定理1 对于n元实二次型f(x1,x2,?,xn)?X/AX，其中A是实对称的，则下列条件等价：
(1) f(x1,x2,?,xn)是正定的； (2) 其正惯性指数等于n；
(3) A与单位矩阵E合同；
(4) 存在可逆的实矩阵P，使A?P/P； (5) A的特征值都大于零；
(6) A的一切顺序主子式Det(A)k?0(k=1, 2,…, n)； (7) 存在正定矩阵B使A?B2； (8) A的一切主子式都大于0； (9) A为半正定且证明 (1)???(2) ：
设二次型f(x1,x2,?,xn)经过非退化实线性替换变成标准形
222d1y1?dy???dy <1> 22nnA?0；
f(x1,x2,?,xn)正定当且仅当<1>是正定的，我们知道二次型<1>是正定的当且
仅当di?0，i?1,2,?,n，即正惯性指数等于n.
(2)???(3) ：
/n元实二次型f(x1,x2,?,xn)?XAX的正惯性指数为n的充要条件是其规
范形为y12?y22???yn2，而此规范形的矩阵是单位矩阵E，因而n元实二次型
f(x1,x2,?,xn)?X/AX的正惯性指数为n的充要条件A与单位矩阵E合同.
(3)???(4) ：
必要性 已知A与单位矩阵E合同，所以存在可逆实矩阵P，使
A?P/EP?P/P.
充分性 如果有可逆实矩阵P，使A?P/P，则A?P/EP，所以A与单位矩阵E合同.
(1)???(5) ：
对n元实二次型f(x1,x2,?,xn)?X/AX，可以找到一个正交变换X=TY，将其化为平方和，即f(x1,x2,?,xn)??1y1??2y2????nyn,其中?1,?2,?,?n222是矩阵A的特征值，且由(l)???(2)可知(1)???(5).
(1)???(6) ：
必要性 已知
f(x1,x2,?,xn)是正定的，由(1)???(5)可知A之特征值
?1,?2,?,?n皆大于零，从而可知Det(A)??1?2??n?0
1
?A?X?现记X??k?，其中Xk?0为k维列向量，0为(n-k)维零向量,又记A??k?C?0?其中B、C、D为块矩阵. 且B/?C. 则 XAX?Xk/B??，D??/?Ak0???C(k)B??Xk?/????XkAkXk?0 D??0?即Ak亦正定.设其特征值为?1皆大于零， 从而有
,?2(k),?,?n(k)，由(1)???(5)可知这些特征值
Det(A)k??1(k)?2(k)??n(k)?0， k=1, 2,…, n
tA)a1?0，充分性 对n作数学归纳法. 当n=1时，有De(1?1f(x1,x2,?,xn)?X/AX?a11x12?0(?x1?0)，故充分性成立.
现假定论断对于n-1成立，兹证明对于n之情形.
?An?1设 A??/?aa??， 其中?/?(an1,an2,?,ann?1). A1??1??An?1?? 1?由(1)???(3)，只需证明A合同于单位矩阵.取
?In?10??In?1/C? C1???， 1?0/?1??A1?n?1???An?1则 CAC1???0/1??An?1??/?1?ann??An?1???000?? a?根据充分性条件Det(A)n?0，Det(A)n?1?0，由上式易得a?0.根据归纳假设
An?1正定，故存在n-1阶可逆矩阵G，使得G/An?1G?In?1. 所以再取
?G/?/ C2???0?0??G??1?， 则C2???0?a??0??1?. ?a?/就立即可得C2(C1/AC1)C2?In，从而A合同于单位矩阵，因此f(x1,x2,?,xn)是
正定的.
(1)???(7) ：
必要性 设A的特征值为?1,?2,?,?n，由(1)???(5)知?i?0,i?1,2,?,n，A是实对称的，则存在正交矩阵T使
2
TAT?diag(?1,?2,?,?n)，A?Tdiag(?1,?2,?,?n)T
即A??Tdiag(?1,?2,?,?n)T?1??Tdiag(?1,?2,?,?n)T?1??B2
????其中，B?Tdiag(?1,?2,?,?n)T?1.因B为实对称的，且特征值
//?i?0,i(?1?,2n,，故,)B为正定矩阵.
充分性 A?B2?B/EB，B是正定矩阵，从而B为可逆矩阵，由(1)???(3)，得证.
(l)???(8) ：
必要性 用反证法.设A?(aij)n?n.若存在A的主子式
ai1,i1ai2,i1?aik,i1ai1,i2ai2,i2?aik,i2?ai1,ik?ai2,ik???aik,ik?B，而B?0，
但B是k阶实对称矩阵，从而存在k阶正交矩阵U使B?U/diag(?1,?2,?,?n)U.由B??1?2??n?0知B至少有一个特征值小于0，不失一般性，设?1?0.令
Y/?(1,0,?,0)U，则Y?0，且Y/BY??1?0.令X/?(x1,x2,?,xn)，其中
?yi,当i??i1,?ik?时 xi??，
0,其它?则X?0，且X/AX?Y/BY??1?0， 这与f(x1,x2,?,xn)是正定的假设矛盾. 充分性 由于A的一切顺序主子式都是它的主子式，故A的一切顺序主子式都大于0，由(l)???(6)，得证.
(1)???(9) ：
必要性 因为f(x1,x2,?,xn)是正定的，则A为正定矩阵，而正定矩阵一定是半正定的，且 A?0.
充分性 设A的n个特征值为?1,?2,?,?n，由A为半正定可知
?i?0,i?1,2,?,n，又A??1?2??n?0，故?i?0,i?1,2,?,n.由(l)???(5) ，
得证.
由上述正定二次型的判定定理，我们可以解决许多问题：
3
