2 x－2
φ′(x)＝1－ ＝， x x
当 x∈(1,2) 时，φ′(x)＜ 0，φ(x)递减， 当 x∈(2,3) 时，φ′(x)＞ 0，φ(x)递增．
又φ(1)＝1，φ(2) ＝2－2ln 2 ，φ(3) ＝3－2ln 3 ，
要使直线 y＝a 与函数φ(x)＝ x－ 2ln x 有两个交点，
则 2－2ln 2 ＜a＜3－2ln 3.
即实数 a 的取值范围是 (2－2ln 2,3 －2ln 3) ．
21 ．(本小题 12 分)(2019 ·全国卷Ⅱ)已知函数 f(x) ＝(x－1)ln x －x－1.证明：
(1)f(x) 存在唯一的极值点；
(2)f(x) ＝0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
证明： (1)f(x) 的定义域为 (0 ，＋∞)， 11x－ ＝(x) f′－ln x －1＝＋ln x . xx
1
上单调递减，) (0＝ 在，＋∞(0因为 y＝ln x 在，＋∞)上单调递增， y
x
f′(x) 在(0，＋∞)上单调递增．所以
11ln 4 － ，>0＝ln 2 ＝－ (2) f 1<0(1) f又′＝－，′
22
故存在唯一 x0 ∈(1,2) ，使得 f′(x0) ＝ 0.
又当 x 当 x>x0 时， f′(x)>0 ， f(x) 单调递 增，所以 f(x) 存在唯一的极值点． (2) 由(1) 知 f(x0) 所以 f(x) ＝ 0 在(x0 ，＋∞)内存在唯一根x＝α. 1 由α>x0>1 得<1 f α11 11 ，＝ 0－ －1＝ 又 f＝－1 ln α αααα 1 故 是 f(x) ＝0 在 (0，x0) 内的唯一根． α 所以 f(x) ＝ 0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数． 22 ．(本小题 12 分)两县城 A 和 B 相距 20 km ，现计划在两县城外以 AB 为直 径的半圆弧 AB 上选择一点 C 建造垃圾处理
