线性代数教案 信息与数学学院数学与应用数学教研室
解 应满足方程=0，即 .
它的基础解系为
把基础解系正交化，即为所求．亦即取 其中
于是得
推论 含有个（）向量的维正交（或标准正交）向量组，总可以添加非零向量，构成含有个向量的维正交向量组． 例3 已知向量空间V3的基为
?1?(1,1,0,0), ?2?(1,0,1,0), ?3?(?1,0,0,1)求V3的一组正交基． 解 ?1??1?(1,1,0,0) ?2??2?k21?1??2?(?12)?1?(1312,?1212,1,0)
111,,,1) 333个维
?3??3?k32?2?k31?1??2?3?2??1?(? 故V的一组正交基为?1,?2,?3．
定义5 如果阶矩阵满足正交矩阵具有如下性质：
（即
），那么称；
为正交矩阵．
（1）矩阵为正交矩阵的充分必要条件是（2）正交矩阵的逆矩阵是正交矩阵；
（3）两个正交矩阵的乘积仍是正交矩阵； （4）正交矩阵是满秩的，且|
由等式
=1或
．
可知，正交矩阵的元素满足关系式
（其中）
可见正交矩阵任意不同两行（列）对应元素乘积之和为0，同一行（列）元素的平方和为1，因此正交矩阵的行（列）所构成的向量组为标准正交向量组，反之亦然．于是有
定理4 一个阶矩阵为正交矩阵的充分必要条件是它的行（或列）向量组是一个标准正交
向量组．
思考与作业：习题五P138:1, 2, 3
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讲授内容：§5.2矩阵的特征值和特征向量
教学目的和要求：理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量．
教学重点：求矩阵的特征值与特征向量.
教学难点：矩阵的特征值与特征向量的求解过程. 教学方法与手段：传统教学,教练结合 课时安排：2课时 教学过程：
定义1 对于n阶方阵A, 若有数?和向量x?0满足Ax??x, 称?为A的特征值, 称x为A的属于特征值?的特征向量．
特征方程：Ax??x?(A??E)x?0 或者 (?E?A)x?0 (A??E)x?0有非零解?det(A??E)?0
?det(?E?A)?0 (1) 特征矩阵：A??E 或者 ?E?A
a11??a12a22???an2????a1na2n?ann??n 特征多项式：?(?)?det(A??E)?a21?an1
?a0??a1? 显然，
nn?1???an?1??an[a0?(?1)]
的特征值就是特征方程(1)的解．特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程
有个特征值．
的次数（重根按重数计算），因此，阶矩阵
定理1 设A?(aij)n?n的特征值?1,?2,?,?n, trA?a11?a22???ann, 则 (1) trA??1??2????n； (2) detA??1?2??n． 证 由特征值的定义可得
a11??a12a22???an2????a1na2n?ann??a21?an1 ?(?)?det(A??E)?
?(a11??)(a22??)?(ann??)?fn?2(?)
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?(?1)n?n?(?1)n?1(a11?a22???ann)?n?1?gn?2(?)?fn?2(?) 其中gn?2(?),fn?2(?)都是次数不超过n?2的多项式．由题设, 又有 ?(?)?det(A??E)?(?1??)(?2??)?(?n??)
?(?1)??(?1)nnn?1(?1??2????n)?n?1???(?1?2??n
比较多项式同次幂的系数可得
a11?a22???ann??1??2????n detA??(0)??1?2??n 推论 detA?0? 0是A的特征值．
若
为
的一个特征值，则
一定是方程|A??E|?0的根, 因此又称特征根，若?的ni重特征根．方程 (A??E)X?0的每一
的全部特征值和特征
为方程|A??E|?0的ni重根，则?称为
个非零解向量都是相应于?的特征向量，于是我们可以得到求矩阵向量的方法如下：
第一步：计算的特征多项式|A??E|；
第二步：求出特征方程|A??E|?0的全部根，即为 第三步：对于的每一个特征值?，求出齐次线性方程组： (A??E)X?0
的一个基础解系?1,?2,????s,，则?1?例1 求A?2???2212的全部特征值；
的属于特征值?的全部特征向量是
． k1?1?k2?2?????ks?s,（其中k1,k2,???ks,是不全为零的任意实数）
2??2 的特征值与特征向量． ?1??21??2221???(5??)(??1)
21?? 解 ?(?)?22 ?(?)?0??1?5,?2??3??1 求?1?5的特征向量： ??4?2 A?5E????22?422??1行??2?0????4???0010?1??1?????1, p1?1 ????0???1?? x?k1p1(k1?0)
求?2??3??1的特征向量：
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?2? A?(?1)E?2???22222??1行??2?0???2???01001???1???1??????1, p3?0 0, p2????????0??0???1??? x?k2p2?k3p3 （k2,k3不同时为0） ??1?例2求A??4???11300??0 的特征值与特征向量． ?2??13??0002???(2??)(??1)
2?1?? 解 ?(?)??41 ?(?)?0??1?2,?2??3?1 求?1?2的特征向量： ??3? A?2E??4???11100??1行??0?0???0???00100??0????0, p1?0 ????0???1?? x?k1p1(k1?0)
求?2??3?1的特征向量： ??2? A?1E??4???11200??1行??0?0???1???00101???1????2, p2??2 ????0??1??? x?k2p2(k2?0)
[注] 在例1中, 对应2重特征值???1有两个线性无关的特征向量； 在例2中, 对应2重特征值??1只有一个线性无关的特征向量． 若?是
的属于?的特征向量，则k?(k?0)也是对应于?的特征向量，因而特征向量
不能由特征值惟一确定．反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只
能属于一个特征值.
一般结论：对应r重特征值?的线性无关的特征向量的个数?r．
例3 求矩阵A的特征值和特征向量，其中.
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