m?min?f?k?,f?x1??,M?max?f??k?,f?x2??.
322因为f?x1??f?k??x1?kx1?x1?k??x1?k??x1?1??0，所以f?x?的最小值m?f?k??k；
323?k?2k??k=?因为f?x2??f??k??x??k2?kx2?x2??[k?2x??0??k?2k1]，所以f?x?2x?23的最大值M?f??k???2k?k；
3综上所述，当k?0时，f?x?的最小值m?f?k??k,最大值M?f??k???2k?k.
方法二：当k?0时，对
?x??k,?k?，都有
f(x)?f(k)?x3?kx2?x?k3?k3?k?(x2?1)(x?k)?0，故f?x??f?k?； f(x)?f(?k)?x3?kx2?x?k3?k3?k?(x?k)(x2?2kx?2k2?1) ?(x?k)[(x?k)2?k2?1]?0，故f?x??f??k?.
又f(k)?k?0，f(?k)??2k3?k?0，所以f(x)max?f(?k)??2k3?k，f(x)min?f(k)?k. 10.已知函数f(x)?ax2?bx?lnx(a,b?R). (Ⅰ)设a?0，求f(x)的单调区间； (Ⅱ) 设a?0，且对于任意x?0，f(x)?f(1).试比较lna与?2b的大小.
2ax2?bx?1【解析】（Ⅰ）由f?x??ax?bx?lnx,x??0,???，得f??x??.
x2（1）当a?0时，f??x??bx?1 x①若b?0，当x?0时，f??x??0恒成立，所以函数f?x?的单调递减区间是?0,??? ②若b?0，当0?x?当x?1时，f??x??0，函数f?x?的单调递减， b1时，f??x??0，函数f?x?的单调递增， b?1??1?所以函数f?x?的单调递减区间是?0,?，单调递增区间是?,???.
?b??b?（2）当a?0时，f??x??0， 得2ax2?bx?1?0，
?b?b2?8a?b?b2?8a由??b?8a?0得x1? ,x2?4a4a2显然，x1?0,x2?0
5
当0?x?x2时，f??x??0，函数f?x?的单调递减， 当x?x2时，f??x??0，函数f?x?的单调递增，
??b?b2?8a??，单调递增区间是所以函数f?x?的单调递减区间是?0,??4a????b?b2?8a??,???， ??4a??综上所述：当a?0，b?0时，函数f?x?的单调递减区间是?0,???
?1??1?当a?0，b?0时，函数f?x?的单调递减区间是?0,?，单调递增区间是?,???
?b??b???b?b2?8a??，单调递增区间是当a?0时，函数f?x?的单调递减区间是?0,??4a????b?b2?8a??,???. ??4a??(Ⅱ) 由a?0，且对于任意x?0， f(x)?f(1)，则函数f?x?在x?1处取得最小值，
?b?b2?8a?b?b2?8a由（Ⅰ）知，是f?x?的唯一的极小值点，故?1，
4a4a整理得2a?b?1即b?1?2a.
1?4x1 令g??x??0,得x?，
4x11当0?x?时，g??x??0,g?x?单调递增；当x?时，g??x??0,g?x?单调递减.
44令g?x??2?4x?lnx， 则g??x??1?1?因此g?x??g???1?ln?1?ln4?0，
4?4?故g?a??0，即2?4a?lna?2b?lna?0， 即lna??2b
11.已知函数f(x)?x2e?x。 （1）求f(x)的极小值和极大值；
（2）当曲线y?f(x)的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围。 【解析】(1) f??x??e?x??x2?2x?,令f??x??0得x?0或2. 列表如下
x
???,0?0 6
（2 ?2,???
0,2） 0 极大值 f??x? ? 0 极小值 ? 增函数 ? 减函数 f?x? 减函数 函数f?x?的极小值为f?0??0，极大值为f?2?＝
4. e2(2)设切点为?x0,x02e?x0?，则切线l的斜率为k?e?x0??x02?2x0? 此时切线l的方程为y?x02e?x0?e?x0??x02?2x0??x?x0? 令y?0，得x?x02?x0. x??x0?2?3， x0?2x0?22(2,??),令ht()?t?（t?0） ，则当t∈(0,+∞)时,h(t)的
t由已知和（1）得x0?(??,0)取值范围为[22,??)；当t∈(-∞,-2)时,h(t)的取值范围是(-∞,-3),所以当x0∈(-∞,0)∪(2,+∞)时,x的取值范围是(-∞,0)∪[22?3,??),综上,l在x轴上的截距的取值范围是(-∞,0)∪[22?3,??).
12.已知函数f(x)?ex(ax?b)?x2?4x，曲线y?f(x)在点(0,f(0))处切线方程为y?4x?4 （Ⅰ）求a，b的值 （Ⅱ）讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值 【解析】（Ⅰ）f?(x)?ex(ax?a?b)?2x?4.由已知得f(0)?4，f?(0)?4. 故b?4，a?b?8，从而a?4，b?4 1（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)?4ex(x?1)?x2?4x，f?(x)?4ex(x?2)?2x?4?4(x?2)(ex?). 2令f?(x)?0，得x??ln2或x??2. 从而当x?(??,?2)?(?ln2,??)时，f?(x)?0；当x?(?2,?ln2)时，f?(x)?0； 故f(x)在(??,?2)，(?ln2,??)单调递增，在x?(?2,?ln2)单调递减. 当x??2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(?2)?4(1?e?2)
7
?x2?2x?a,x?013.已知函数f(x)??，其中a是实数。设A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))为该函
?lnx,x?0数图象上的两点，且x1?x2.
（Ⅰ）指出函数f(x)的单调区间；
（Ⅱ）若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直，且x2?0，证明：x2?x1?1； （Ⅲ）若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合，求a的取值范围。
【解析】(Ⅰ)函数f(x)的单调递减区间为(??,?1), 单调递增区间为(?1,0),(0,+?). (Ⅱ)由导数的几何意义可知,点A处的切线斜率为f ?(x1),点B处的切线斜率为f ?(x2), 故当点A处的切线与点B处的切线垂直时,有f ?(x1)f ?(x2)=?1. 当x<0时,对函数f(x)求导，得f ?(x)=2x+2
因为x1
1
因此x2?x1=[?(2x1+2)+ 2x2+2]?[?(2x1+2)](2x2+2)=1,
2
31
当且仅当?(2x1+2)= 2x2+2=1，即x1=?且x2=?时等号成立.
22
所以,函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直时, 有x2?x1?1.
(Ⅲ) 当x1 当x1<0时,函数f(x)的图象在点(x1,f(x1))处的切线方程为y?(x12+2x1+a)=(2x1+2)(x?x1), 即y=(2x1+2)x?x12+a. 11 当x2>0时,函数f(x)的图象在点(x2,f(x2))处的切线方程为y?lnx2=(x?x2),即y= x2x2 x+lnx2?1. 1??2x1+2= ①x2两切线重合的充要条件是? 2???x1+a =lnx2?1 ② 11?1?1???1?-1=-ln+??2?-1. 由①及x1<0 x241211(t?1)2?3设h(t)=t-t-lnt(0 42t2t1 22所以h(t)(0 而当t∈(0,2)且t趋近于0时,h(t)无限增大. 所以a>-ln2-1. 又当x1∈(-1,0)且趋近于-1时,h(x1)无限增大, 所以a的取值范围是(-ln2-1,+∞). 故当函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合时,a的取值范围是(-ln2-1,+∞). 14.已知函数f(x)=x3+x2+ax+1(a∈R). (1)求函数f(x)的单调区间. 8
