（3）F(x)在（-?,0)内单调上升、连续且F(??,0)，若定义
?F(x)???x?0~F(x)??x?0?1则F(x)可以是某一随机变量的分布函数。
~3.3 函数sinx是不是某个随机变数?的分布密度？如果?的取值范围为 （1）[0,?3（2）[0,?]；（3）[0,?]。 ]；22解：（1）当x?[0,布密度； （2）因为
?2?]时，sinx?0且?2sinxdx=1，所以sinx可以是某个随机变量的分
0?sinxdx=2?1，所以sinx不是随机变量的分布密度；
0x （3）当x?[?,?]时，sinx?0，所以sinx 不是随机变量的分布密度。 3.4 设随机变数?具有对称的分布密度函数p(x)，即p(x)?p(?x),证明：对任意的
321a?0,有（1）F(?a)?1?F(a)??2 （2）P（??a)?2F(a)?1； （3）P(??a)?2?1?F(a)?。 证：（1）F(?a)??a0p(x)dx；
??a??p(x)dx?1??p(x)dx
?a??a? =1??ap(?x)dx?1??p(x)dx
??a =1?F(a)?1? ??0??p(x)dx
?01ap(x)dx???p(x)dx；
20 （2）P(??a??a?ap(x)dx?2?p(x)dx，由（1）知
0a1-F(a)? 故上式右端=2F(a)?1；
1a??p(x)dx 20 （3）P(??a)?1?P(??a)?1?[2F(a)?1]?2[1?F(a)]。
3.5 设F1(x)与F2(x)都是分布函数，又a?0,b?0是两个常数，且a?b?1。证明
F(x)?aF1(x)?bF2(x)
也是一个分布函数，并由此讨论，分布函数是否只有离散型和连续型这两种类型？ 证：因为F1(x)与
F2(x)都是分布函数，当x1?x2时，F1(x1)?F1(x2)，
F2(x1)?F2(x2)，于是
F(x1)?aF1(x1)?bF2(x1)?aF1(x2)?bF2(x2)?F(x2)
又
x???limF(x)?lim[aF1(x)?bF2(x)]?0
x???x??limF(x)?lim[aF1(x)?bF2(x)]?a?b?1
x??F(x?0)?aF1(x?0)?bF2(x?0)?aF1(x)?bF2(x)?F(x)
所以，F(x)也是分布函数。
取a?b?1，又令 2?0x?0F1(x)???1x?0x?0?0?F2(x)??x0?x?1
?1x?1?这时
?0?1?xF(x)???2?1x?00?x?1 x?1显然，与F(x)对应的随机变量不是取有限个或可列个值，故F(x)不是离散型的，而
F(x)不是连续函数，所以它也不是连续型的。
3.6 设随机变数?的分布函数为
?1?(1?x)e?xF(x)???0求相应的密度函数，并求P(??1)。 解：
x?0x?0
d[1?(1?x)e?x]?xe?x，所以相应的密度函数为 dx?xe?xp(x)???0x?0x?0
2P(??1)?F(1)?1?。
e3.7 设随机变数?的分布函数为
?0?F(x)??Ax2?1?求常数A及密度函数。
x?00?x?1 x?1解：因为F(1?0)?F(1)，所以A?1，密度函数为
?2x0?x?1p(x)??
0其它?3.8 随机变数?的分布函数为F(x)?A?Barctgx，求常数A与B及相应的密度函数。
解：因为limF(x)?A?B(?x????2)?0
limF(x)?A?Bx????2?1
11,B? 2?所以
A?因而
F(x)?111?arctgx,p(x)?F?(x)?。 22??(1?x)3.9 已知随机变数?的分布函数为
?x?p(x)??2?x?0?（1） 求相应的分布函数F(x)；
0?x?11?x?2 其它（2） 求P(??0.5),P(??1.3),P(0.2???1.2)。
x?0?0?x12ydy?x0?x?1???02解：F(x)?? 1x12??ydy??(2?y)dy?2x?x?11?x?212?0?x?2?118P(??1.3)?1?P(??1.3)?1?F(1.3)?0.245 P(??0.5)?F(0.5)?P(0.2???1.2)?F(1.2)?F(0.2)?0.663.10确定下列函数中的常数A，使该函数成为一元分布的密度函数。 （1）p(x)?Ae?x；
????Acosx??x?（2）p(x)??22
?其它?0?Ax2?p(x)??Ax?0?1?x?22?x?3 其它?0（3）
解：（1）
????Ae?xdx?2A?e?xdx?2A?1所以A??1； 21; 2? （2）
??2?2Acosxdx?2A?2cosxdx?2A?1，所以A=
0(3)
?21Axdx??Axdx?228296。 A?1,所以A?2963.12 在半径为R,球心为O的球内任取一点P,求??oP的分布函数。 解：当0?x?R时
43?xxF(x)P(??x)?3?()3
43R?R3所以
0??x3F(x)??()?R?1x?00?x?R x?R3.13 某城市每天用电量不超过一百万度，以?表示每天的耗电率（即用电量除以一万度），它具有分布密度为
?12x(1?x)20?x?1p(x)??
0其它?若该城市每天的供电量仅有80万度，求供电量不够需要的概率是多少？如每天供电量90
万度又是怎样呢？
