不等式的解法
高考要求
不等式在生产实践和相关学科的学习中应用广泛，又是学习高等数学的重要工具，所以不等式是高考数学命题的重点，解不等式的应用非常广泛，如求函数的定义域、值域，求参数的取值范围等，高考试题中对于解不等式要求较高，往往与函数概念，特别是二次函数、指数函数、对数函数等有关概念和性质密切联系，应重视；从历年高考题目看，关于解不等式的内容年年都有，有的是直接考查解不等式，有的则是间接考查解不等式 重难点归纳
解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题 (1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法
(2)掌握用零点分段法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法
(3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法 (4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法
(5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式 (6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论
一．解不等式中的简易逻辑思想
例1 已知p:|1?x?13|?2，q:x2?2x?1?m2?0(m?0)；?p是?q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 0?m?3
二、解不等式中的换元思想
例2．解不等式
1x?112??1xx?1?16。 解集是[3，8] 三、解不等式中的数形结合思想
例3．设a<0为常数，解不等式a2?ax?2x?a。 解集是(
3a4,+∞) 四、解不等式中的函数方程思想
例4 求a，b的值，使得关于x的不等式ax2 +bx+a2 -1≤0的解集分别是： (1)[-1，2]；(2)(-∞，-1]∪[2，+∞)；(3){2}；(4)[-1，+∞)．
五、解不等式中的分类类讨论思想
解不等式
x1?x2x2?1?1?x2?0 x＞?33 六、解不等式中的构造思想
例6、解不等式 8(x?1)3?10x?1?x3?5x＞0 －1＜x＜2或x＜－2 七、解不等式中的转化化归思想
例7 对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x2＋px＞4x＋p-3恒成立，试求x的取值范围.
(-∞,-1)∪(3,＋∞)
八、解不等式中的整体思想
例8、已知f(x)=ax2-c,且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的范围。 -1≤f(3)≤20
典型题例示范讲解
例1 f(x)是［－1，1］上的奇函数，且f(1)=1， m、n∈［－1，1］，m+n≠0时f(m)?f(n)＞0m?n
(1)用定义证明f(x)在［－1，1］上是增函数；(2)解不等式1 f(x+
22)＜f(1x?1)； (3)若f(x)≤t－2at+1对所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，求实数t的取值范围 命题意图 本题是一道函数与不等式相结合的题目，考查学生的分析能力与化归能力
知识依托 本题主要涉及函数的单调性与奇偶性，而单调性贯穿始终，把所求问题分解转化，是函数中的热点问题；问题的要求的都是变量的取值范围，不等式的思想起到了关键作用 t的取值范围是 {t|t≤－2或t=0或t≥2}
例2设不等式x2－2ax+a+2≤0的解集为M，如果M?［1，4］，求实数a的取值范围 命题意图 考查二次不等式的解与系数的关系及集合与集合之间的关系
知识依托 本题主要涉及一元二次不等式根与系数的关系及集合与集合之间的关系，以及分类讨论的数学思想
M?［1，4］时，a的取值范围是(－1，187)
例3解关于x的不等式a(x?1)x?2＞1(a≠1)
当a＞1时解集为(－∞，a?2a?2a?1)∪(2，+∞)；当0＜a＜1时，解集为(2，a?1)；当a=0时，解
集为?；当a＜0时，解集为(a?2a?1，2）
学生巩固练习
??(x?1)2(x??1)1 设函数f(x)=??2x?2(?1?x?1)，已知f(a)＞1，则a的取值范围是( )
??1?x?1(x?1)A (－∞，－2)∪(－1112，+∞) B (－2，2)
C (－∞，－2)∪(－112，1) D (－2，－2)∪(1，+∞)
2 已知f(x)、g(x)都是奇函数，f(x)＞0的解集是(a2
，b)，g(x)＞0的解集是(a2b2，2)，则f(x)·g(x)
＞0的解集是__________
3 已知关于x的方程sin2x+2cosx+a=0有解，则a的取值范围是_______ 4 已知适合不等式|x2－4x+p|+|x－3|≤5的x的最大值为3
(1)求p的值； (2)若f(x)=px?1-－
11?xpx?1，解关于x的不等式f(x)＞logpk(k∈R+)
5 设f(x)=ax2+bx+c，若f(1)=
72，问是否存在a、b、c∈R，使得不等式 x2+12≤f(x)≤2x2+2x+32对一切实数x都成立，证明你的结论
6 已知函数f(x)=x2+px+q，对于任意θ∈R，有f(sinθ)≤0，且f(sinθ+2)≥2 (1)求p、q之间的关系式； (2)求p的取值范围；
(3)如果f(sinθ+2)的最大值是14，求p的值 并求此时f(sinθ)的最小值
7 解不等式log(x－1ax)＞1
8 设函数f(x)=ax
满足条件 当x∈(－∞，0)时，f(x)＞1；当x∈(0，1]时，不等式f(3mx－1)＞f(1+mx－x2)＞f(m+2)恒成立，求实数m的取值范围
一、 选择题
（1）若x∈R，下列不等式中解法正确的是 （ ）
（A）x2＞2?x＞±2 （B）（x-1）2＜2?1-2＜x＜1+2 （C）ax+b＜0?x＜-
ba （D）x2?1＜1-2x?x2-1＜(1-2x)2?3x2-4x+2＞0 ∵△=16-24＜0 ∴无解.
(2)下列各对不等式中同解的是 ( )
(A)(2a+7)x＞a+3与x＞a?32a?7 (B)lg(x-a)2＜0与(x-a)2＜1
(C)x?ax?b＜1与x?ax?b≤1 (D)(x-a)(x-b)＞0与x?ax?b＞0
(3)不等式4x＞9x的解集是 ( )
(A){x|x＜-32或x＞32} (B){x|x＞-332且x≠2}
(C){x|-32＜x＜0或x＞3332} (D){x|-2＜x＜2}
(4)不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|-12＜x＜13},则a+b的值为 ( )
(A)10 (B)-10 (C)14 (D)-14
(5)不等式(x-1)x?2≥0的解集是 ( )
(A){x|x＞1} (B){x|x≥1} (C){x|x≥1或x-2} (D){x|x＜-2或x≥2} (6)不等式4?x2?xx≥0的解集是 ( )
(A){x|-2≤x≤2} (B){x|-3≤x＜0或0＜x≤2}
(C){x|-2＜x≤0或0＞x≤2} (D){x|-3≤x＜0或0＜x≤3}
(7)不等式|x?2-3|＜1的解集是 ( )
(A){x|5＜x＜16} (B){x|6＜x＜18} (C){x|7＜x＜20} (D){x|8＜x＜22}
lgx(9)不等式??1??2??＞4的解集是 ( )
(A){x|x＜100} (B){x|0＜x＜100}(C){x|x＜
11?100} (D)???x|0?x?100??
(10)若集合M={x|x2-5x-6＜0},N={x|lg(x+1)2＜2},全集I=R,则M?N为 ( )
(A){x|x≤1}∪{x|6≤x＜9} (B){x|-1＜x＜6}(C){x|-11＜x≤-1或6≤x＜9} (D){x|-11＜x＜9} (11)不等式log2X2?1(3x2+2x-1) ＜1的解集是 ( ) (A){x|-2＜x＜0} (B){x|0＜x＜1或-2＜x＜-1} (C){x|-2＜x＜-1} (D){x|-2＜x＜-1或
22＜x＜1} (12)不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4＜0,对任意实数x恒成立,则a的取值范围是 ( )
(A)(-2,2) (B)(-2,2] (C)(-∞,-2)∪(2,+∞) (D)(-∞,-2)∪[2,+∞) (13)如果loga
35＜1,则a的取值范围是 ( ) (A)??3? (B)?3? (C)?3,?0,5????5,1????5???? (D)?3?∪(1,+∞) ???0,5??x2?2ax(14)不等式?2?1?2
3x?a对一切实数x都成立,则a的取值范围是 ( )
?2?＜?(A)a＞
34 (B)a＜34 (C) 0＜a＜334 (D)4 ＜a＜1 (15)若关于x的方程x2-x-(m+1)=0在[-1,1]上有解,则m的取值范围是 ( ) (A)m≥-54 (B)-54≤m≤-1 (C)-54≤m≤1 (D)m≤1 填空题
(1)不等式3xx2?2≥1的解集是__________. (2)不等式(x2-4x-5)(x2-4)≤0的解集是__________. (3)使不等式2x?5＞x+1成立的x的取值范围是_______. (4)不等式|2x2-5|＞3x的解集是
________. log2?2x)1(x(5)不等式lg??x?1?3?x??＜0的解集是__________. (6)不等式5≥0.2的解集是________.
二、 解答题
(1)解不等式5?4x?x2≥x. （2）解不等式log3x+logx27＜4.(3)解不等式|3x?6-2x|≥1.
(4)已知:a＞0,a≠1,解不等式 loga(4+3x-x2)-loga(2x-1)＞loga2.
(5)若(a-2)x2+1≤(a-2)x对任意实数x都成立,求a的取值范围.
(6)如果偶函数f(x)在x∈[0,+∞)上是增函数,且f(log427·log272)=0,求不等式f(logax)＞0 (a＞0且a≠1)的解集.
