第十一章 概率
概率．
解 依题意知BC＝BD＋DC＝1＋3， P(BM<1)＝
变式训练：
(1)如图，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为________．
3－11
＝.
21＋3
(2)已知集合A＝{x|－1 ???? ??x－2>0? ?，在集合A中任取一个元素x，则事件“x∈(A∩B)”的 ?3－x?? 概率是________． 11 答案 (1) (2) 66 60°1 解析 (1)如题图，因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，所以OA落在∠yOT内的概率为＝. 360°6(2)由题意得A＝{x|－1 一个元素x，则x∈(A∩B)的概率为P＝. 6 考点二 与面积有关的几何概型 命题点1 与平面图形面积有关的问题 例2 (2015·福建)如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D在函数f(x)x＋1，x≥0，??＝?1的图象上．若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( ) －x＋1，x＜0??2 - 9 - 第十一章 概率 1131A. B. C. D. 6482答案 B 3 2113 解析 由图形知C(1,2)，D(－2,2)，∵S四边形ABCD＝6，S阴＝×3×1＝.∴P＝＝. 2264命题点2 与线性规划知识交汇命题的问题 例3 (2014·重庆)某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________(用数字作答)． 答案 9 32 解析 设小张与小王的到校时间分别为7：00后第x分钟，第y分钟，根据题意可画出图形，如图所示，则总事件所占的面积为(50－30)2＝400.小张比小王至少早5分钟到校表示的事件A＝{(x，y)|y－1225 x≥5,30≤x≤50,30≤y≤50}，如图中阴影部分所示，阴影部分所占的面积为×15×15＝，所以小 22225 29 张比小王至少早5分钟到校的概率为P(A)＝＝. 40032 变式训练： (1)在区间[－π，π]内随机取出两个数分别记为a，b，则函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零点的概率为( ) πA．1－ 8π C．1－ 2 π B．1－ 43π D．1－ 4 - 10 - 第十一章 概率 x≤0，?? (2)(2014·湖北)由不等式组?y≥0， ??y－x－2≤0 ??x＋y≤1， 确定的平面区域记为Ω1，不等式组?确定的平面区 ?x＋y≥－2? 域为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( ) 1137 A. B. C. D. 8448答案 (1)B (2)D 解析 (1)由函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零点， 可得Δ＝(2a)2－4(－b2＋π2)≥0，整理得a2＋b2≥π2， 如图所示，(a，b)可看成坐标平面上的点，试验的全部结果构成的区域为 Ω＝{(a，b)|－π≤a≤π，－π≤b≤π}， 其面积SΩ＝(2π)2＝4π2. 事件A表示函数f(x)有零点， 所构成的区域为M＝{(a，b)|a2＋b2≥π2}， 即图中阴影部分，其面积为SM＝4π2－π3， 23 SM4π－ππ 故P(A)＝＝2＝1－，所以选B. SΩ4π4 (2)如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD， 1 2－47S四边形OACD13 易知C(－，)，故由几何概型的概率公式，得所求概率P＝＝＝. 2228S△OAB 考点三：与体积有关的几何概型 - 11 - 第十一章 概率 例4 在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1 内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________． π答案 1－ 12 142 解析 V正＝23＝8，V半球＝×π×13＝π， 233V半球2ππ ＝＝， V正8×312 π 故点P到O的距离大于1的概率为1－. 12 变式训练： 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A－A1BD内的概率为________． 1答案 6 VA－A1BD111 解析 因为VA－A1BD＝VA1－ABD＝·S△ABD·AA1＝·S矩形ABCD·AA1＝V长方体，故所求概率为＝ 366V长方体1 . 6 - 12 -
