第十一章 概率
学案11.3 几何概型
自主预习案 自主复习 夯实基础 【双基梳理】 1．几何概型的定义
事件A理解为区域Ω的某一子区域A，A的概率只与子区域A的 成正比，而与A的位置 和 无关，满足以上条件的试验称为几何概型． 2．几何概型的概率公式
μAP(A)＝，其中μΩ表示区域Ω的几何度量，μA表示子区域A的几何度量．
μΩ【知识拓展】 几何概型的两种类型
(1)线型几何概型：当基本事件只受一个连续的变量控制时．
(2)面型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决． 【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．( )
(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( )
(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( ) (4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( ) (5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( ) 1
(6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P＝.( )
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考点探究案 典例剖析 考点突破
考点一 与长度、角度有关的几何概型
例1 (1)(2015·重庆)在区间[0,5]上随机地选择一个数p，则方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根的概率为________．
ππ1
(2)在区间[－，]上随机取一个数x，则cos x的值介于0到之间的概率为________．
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第十一章 概率
引申探究
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1．本例(2)中，若将“cos x的值介于0到”改为“cos x的值介于0到”，则概率如何？
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2．若本例(3)中“在∠BAC内作射线AM交BC于点M”改为“在线段BC上找一点M”，求BM<1的概率．
变式训练：
(1)如图，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为________．
???x－2>0(2)已知集合A＝{x|－1 ?? ?，在集合A中任取一个元素x，则事件“x∈(A∩B)”的?? 概率是________． 考点二 与面积有关的几何概型 命题点1 与平面图形面积有关的问题 例2 (2015·福建)如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D在函数f(x)x＋1，x≥0，?? ＝?1的图象上．若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( ) ??－2x＋1，x＜0 - 2 - 第十一章 概率 1131A. B. C. D. 6482 命题点2 与线性规划知识交汇命题的问题 例3 (2014·重庆)某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________(用数字作答)． 变式训练： (1)在区间[－π，π]内随机取出两个数分别记为a，b，则函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零点的概率为( ) πA．1－ 8π C．1－ 2 π B．1－ 43π D．1－ 4 x≤0，?? (2)(2014·湖北)由不等式组?y≥0， ??y－x－2≤0 ??x＋y≤1， 确定的平面区域记为Ω1，不等式组?确定的平面区 ?x＋y≥－2? - 3 - 第十一章 概率 域为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( ) 1137A. B. C. D. 8448 考点三：与体积有关的几何概型 例4 在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1 内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________． 变式训练： 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A－A1BD内的概率为________． 当堂达标： 1．(教材改编)在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( ) 111 A. B. C. D．1 234 - 4 -
