第一章 函数 极限 连续
一．求极限方法小结
极限是整个微积分的基础，要理解微积分，首先要很好地理解极限的概念.
有多种求极限的方法，究竟该用哪种方法求极限，关键是要判断极限属于哪一种类型.
1. 知识要点
（1）利用极限的定义求极限. （2）利用极限运算法则求极限. （3）利用不等式求极限.
（4）利用变量代换法求极限. （5）利用两个重要极限求极限. （6）利用单调有界准则求极限. （7）利用函数的连续性求极限. （8）利用等价无穷小代换求极限. （9）利用单侧极限求极限. （10） 利用罗必达法则求极限. （11） 利用导数定义求极限. （12） 利用定积分定义求极限. （13）
利用Taylor公式求极限.
2．典型例子
例1：设x1?2,x2?2?1x,?,xn?1?2?11x,?n(答案：1?2)
例2：求lim??11n????1???n2?1n2????2n2?n????例3：求lim??n???1?1??1? ?n?11?1?(n2?1)2(nn?1)n??例4：求lim1?3?5?(2n?1)n??2?4?6?2n 例5：求 lim??x?x2ln?1????1?xx?? ???? ?1
求证：limn??xn存在，并求其值.
（答案：1） （答案：1） （答案：0）
（答案：12）
例6：lim?x?0xcosx （答案：exc?12）
?x?c?例7：求常数c，使lim???x??x?c???tedt （c???2t52）
例8：已知x1?1,x2?1??1?5??
?2???x1x1?1,?,xn?1?xn?1xn?1?1,?,证明数列{xn}收敛，并求出
此数列的极限. ?例9：设x0?0,xn?1?3(1?xn)3?xn(n?0)，求limxn （答案：3）
n??例10：求 lim1?tanx?x1?tanxx?0e?12 （答案：1）
2例11：求 limln(1?x?x)?ln(1?x?x)secx?cosxx?0 （答案：1）
1??x2?esinx?例12: lim? （答案：1） ?4?x?0?xx??1?e??x2例13：设f(x)?同阶无穷小量.
例14：lim?x?0?tan02tdt,g(x)?x?sin76x，证明：当x?0时，f(x)与g(x)是
?1?x2?cot22?x? （答案：）
3??2??sinsin?sin?nn 例15：求 lim?????n??11?n?1n?n??2n???2? （答案：）
????12n??1sin2sinnsin?nnn? 例16：求 lim?2?2???2?（答案：sin1?cos1） n??n?n?1n?n?2n?n?n??????例17：设f(x)在原点的邻域内二次可导，且lim?x?0?sin3x?x3?f(x)???0，求2x?2
9f(x)??3 （答案：） ?3,0,9,f(0),f'(0),f\(0)及lim?2??2x?02x??x1f(x)?x?3 例18：设f(x)在x?0的某邻域内具有二阶导数，且lim?1?x???e，求
x?0x??1f(x)?x?f(0),f'(0),f''(0)及lim?1??.（答案：f(0)?0,f'(0)?0,f''(0)?4，
x?0x??1f(x)?x?2lim?1???e） x?0x?? 例19：设{an}，{bn}，{cn}均为非负数列，且liman?0，limbn?1，limcn??，
n??n??n??则必有
(A)an?bn对任意n成立； (B)bn?cn对任意n成立； (C)极限limancn不存在； (D)极限limbncn不存在.
n??n?? （2003年数学一）
2arctanx?ln1?x1?x?c?0，求p,c （答案：p?3,c??43 例20：已知limx?0xp）
例21：设函数f(x)在x?0的某邻域内具有二阶连续导数，且f(0)?0，f'(0)?0，
f''(0)?0.证明：存在惟一的一组实数?1,?2,?3，使得当??0时，
?1f(h)??2f(2h)??3f(3h)?f0)是比h2高阶的无穷小.
??11??（答案：?1） ?例22：求极限lim2x?0?2ln(1?x)??ln(x?1?x)?x2例23：已知当x?0时x?2kcostdt与是等价无穷小，求常数A和k.（答案：Ax?20A?110,k?10）
例24：设函数f(x)在(??,??)内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是
(A)若{xn}收敛，则{f(xn)}收敛. (B)若{xn}单调，则{f(xn)}收敛. (C)若{f(xn)}收敛, 则{xn}收敛. (D){f(xn)}若单调，则{xn}收敛.
(答案：B) （2008年数学一）
3
例25：求极限 lim
[sinx?sin(sinx)]sinxx4x?0 （答案：
16）（2008年数学一）
二．函数的连续性 1．知识要点
1．函数在一点的连续性：f(x)在点x0处连续?lim?y?0
?x?0 f(x)在点x0处连续?limf(x)?f(x0)
x?x02．连续函数的运算
3．初等函数的连续性：
基本初等函数在定义区间内是连续的； 初等函数在定义区间内是连续的
4．函数的间断点和间断点的分类
5．闭区间上连续函数的性质：最值定理、介值定理
2．典型例子
3?x?x,?x?0?sin?x例1：求函数f(x)?? 的间断点，并指出其类型. 1x?0?ln(1?x)?sin,2?x?1?例2：讨论函数f(x)?limln(e?x)nnnn??(x?0)在定义域内是否连续.
?xtf(t)dt???例3：设F(x)??0试确定c的,x?0 其中f(x)具有连续导数且f(0)?0，2x?x?0?c,?值使F(x)连续，并讨论F'(x)是否连续. （答案：c?0）
n例4：设f(x)在(a,b)内连续，xi?(a,b),ti?0(i?1,2,?,n)，且?ti?1，试证明
i?1至少存在一点??(a,b)，使f(?)?t1f(x1)?t2f(x2)???tnf(xn).
例5：设f(x)在[0,1]上连续，且f(0)?f(1)，证明（1）存在??(0,1)，使
f(??12)?f(?)；（2）存在??[0,1]，使f(??1n)?f(?),n?N.
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