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相对静止时的共同速度v1＝
mvv＝ M＋m3
1212
由功能关系知：μmgs＝mv－(M＋m)v1
22
v2
解得滑块相对盒的路程s＝.
3μgv2
【答案】 33μgv2.(2016·全国甲卷)如图1-5，光滑冰面上静止放置一表面光滑的斜面体，斜面体右侧一蹲在滑板上的小孩和其面前的冰块均静止于冰面上.某时刻小孩将冰块以相对冰面3 m/s的速度向斜面体推出，冰块平滑地滑上斜面体，在斜面体上上升的最大高度为h＝0.3 m(h小于斜面体的高度).已知小孩与滑板的总质量为m1＝30 kg，冰块的质量为m2＝10 kg，小孩与滑板始终无相对运动.取重力加速度的大小g＝10 m/s.
图1-5
(ⅰ)求斜面体的质量；
(ⅱ)通过计算判断，冰块与斜面体分离后能否追上小孩？
【解析】 (ⅰ)规定向右为速度正方向.冰块在斜面体上运动到最大高度时两者达到共同速度，设此共同速度为v，斜面体的质量为m3.由水平方向动量守恒和机械能守恒定律得
2
m2v20＝(m2＋m3)v①
121
m2v20＝(m2＋m3)v2＋m2gh② 22
式中v20＝－3 m/s为冰块推出时的速度.联立①②式并代入题给数据得
m3＝20 kg③
(ⅱ)设小孩推出冰块后的速度为v1，由动量守恒定律有
m1v1＋m2v20＝0④
代入数据得
v1＝1 m/s⑤
设冰块与斜面体分离后的速度分别为v2和v3，由动量守恒和机械能守恒定律有
m2v20＝m2v2＋m3v3⑥
121212
m2v20＝m2v2＋m3v3⑦ 222联立③⑥⑦式并代入数据得
v2＝1 m/s⑧
由于冰块与斜面体分离后的速度与小孩推出冰块后的速度相同且处在后方，故冰块不能追上小孩.
【答案】 (ⅰ)20 kg (ⅱ)见解析
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3.(2016·全国乙卷)某游乐园入口旁有一喷泉，喷出的水柱将一质量为M的卡通玩具稳定地悬停在空中.为计算方便起见，假设水柱从横截面积为S的喷口持续以速度v0竖直向上喷出；玩具底部为平板(面积略大于S)；水柱冲击到玩具底板后，在竖直方向水的速度变为零，在水平方向朝四周均匀散开.忽略空气阻力.已知水的密度为ρ，重力加速度大小为g.求
(i)喷泉单位时间内喷出的水的质量；
(ii)玩具在空中悬停时，其底面相对于喷口的高度.
【解析】 (ⅰ)设Δt时间内，从喷口喷出的水的体积为ΔV，质量为Δm，则 Δm＝ρΔV① ΔV＝v0SΔt②
由①②式得，单位时间内从喷口喷出的水的质量为 Δm＝ρv0S③ Δt(ⅱ)设玩具悬停时其底面相对于喷口的高度为h，水从喷口喷出后到达玩具底面时的速度大小为v.对于Δt时间内喷出的水，由能量守恒得
1122
(Δm)v＋(Δm)gh＝(Δm)v0④ 22
在h高度处，Δt时间内喷射到玩具底面的水沿竖直方向的动量变化量的大小为 Δp＝(Δm)v⑤
设水对玩具的作用力的大小为F，根据动量定理有
FΔt＝Δp⑥
由于玩具在空中悬停，由力的平衡条件得
F＝Mg⑦
联立③④⑤⑥⑦式得
v2M2g0
h＝－222⑧ 2g2ρv0Sv2M2g0
【答案】 (ⅰ)ρv0S (ⅱ)－222
2g2ρv0S4.(2016·全国丙卷)如图1-6，水平地面上有两个静止的小物块a和b，其连线与墙垂3
直；a和b相距l，b与墙之间也相距l；a的质量为m，b的质量为m.两物块与地面间的动
4摩擦因数均相同.现使a以初速度v0向右滑动.此后a与b发生弹性碰撞，但b没有与墙发生碰撞.重力加速度大小为g.求物块与地面间的动摩擦因数满足的条件.
图1-6
【解析】 设物块与地面间的动摩擦因数为μ.若要物块a、b能够发生碰撞，应有
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12
mv0>μmgl① 2
v20
即μ<②
2gl设在a、b发生弹性碰撞前的瞬间，a的速度大小为v1.由能量守恒有 1212
mv0＝mv1＋μmgl③ 22
设在a、b碰撞后的瞬间，a、b的速度大小分别为v1′、v2′，由动量守恒和能量守恒有
mv1＝mv1′＋mv2′④
1211?3?2mv1＝mv′21＋?m?v′2⑤ 222?4?8
联立④⑤式解得v2′＝v1⑥
7
由题意知，b没有与墙发生碰撞，由功能关系可知 1?3?23
m?v′2≤μmgl⑦ ?2?4?4联立③⑥⑦式，可得 32v0μ≥⑧
113gl联立②⑧式，a与b发生弹性碰撞，但b没有与墙发生碰撞的条件 32v0v0
≤μ<⑨ 113gl2gl32v0v0【答案】 ≤μ< 113gl2gl5.(2014·新课标全国卷Ⅰ)如图1-7，质量分别为mA、mB的两个弹性小球A、B静止在地面上方，B球距地面的高度h＝0.8 m，A球在B球的正上方.先将B球释放，经过一段时间后再将A球释放.当A球下落t＝0.3 s时，刚好与B球在地面上方的P点处相碰.碰撞时间极短，碰后瞬间A球的速度恰为零.已知mB＝3mA，重力加速度大小g＝10 m/s，忽略空气阻力及碰撞中的动能损失.求：
【导学号：67080013】
图1-7
(1)B球第一次到达地面时的速度； (2)P点距离地面的高度.
【解析】 (1)设B球第一次到达地面时的速度大小为vB，由运动学公式有
2
2
2
2
2
2
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vB＝2gh①
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将h＝0.8 m代入上式，得
vB＝4 m/s.②
(2)设两球相碰前后，A球的速度大小分别为v1和v1′(v1′＝0)，B球的速度分别为v2
和v2′.由运动学规律可得
v1＝gt③
由于碰撞时间极短，重力的作用可以忽略，两球相撞前后的动量守恒，总动能保持不变.规定向下的方向为正，有mAv1＋mBv2＝mBv2′④
12121
mAv1＋mBv2＝mBv′22⑤ 222
设B球与地面相碰后的速度大小为vB′，由运动学及碰撞的规律可得
vB′＝vB⑥
设P点距地面的高度为h′，由运动学规律可得
2
v′2B－v2
h′＝⑦
2g联立②③④⑤⑥⑦式，并代入已知条件可得
h′＝0.75 m.⑧
【答案】 (1)4 m/s (2)0.75 m
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