等腰三角形
一、选择题
（2020·山东烟台）如图，Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与0刻1．
度线的一端重合，∠ABC=40°，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D，若射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是（ ）
A．40° B．70° C．70°或80° D．80°或140° 【考点】角的计算． 【分析】如图，点O是AB中点，连接DO，易知点D在量角器上对应的度数=∠DOB=2∠BCD，只要求出∠BCD的度数即可解决问题．
【解答】解：如图，点O是AB中点，连接DO． ∵点D在量角器上对应的度数=∠DOB=2∠BCD，
∵当射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形时， ∠BCD=40°或70°，
∴点D在量角器上对应的度数=∠DOB=2∠BCD=80°或140°， 故选D．
2．（2020·山东枣庄）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠
ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于
A．15° B．17. 5° C．20° D．22.5°
AD【答案】A. 【解析】 CE第4题图 试题分析：在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=75°，B所以∠ACE=180°-∠ACB=180°-75°=105°，根据角平分线的性质可得∠DBC=37.5°，∠ACD=52.5°，即可得∠BCD=127.5°，根据三角形的内角和定理可得∠D=180°-∠DBC-∠BCD=180°-37.5°-127.5°=15°，故答案选A.
考点：等腰三角形的性质；三角形的内角和定理. 3．（2020.山东省泰安市，3分）如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（ ） A．44° B．66° C．88° D．92° 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B，证明△AMK≌△BKN，得到∠AMK=∠BKN，根据三角形的外角的性质求出∠A=∠MKN=44°，根据三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：∵PA=PB， ∴∠A=∠B， 在△AMK和△BKN中， ，
∴△AMK≌△BKN， ∴∠AMK=∠BKN， ∵∠MKB=∠MKN+∠NKB=∠A+∠AMK， ∴∠A=∠MKN=44°， ∴∠P=180°﹣∠A﹣∠B=92°， 故选：D． 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握等边对等角、全等三角形的判定定理和性质定理、三角形的外角的性质是解题的关键．
4．（2020·江苏省扬州）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6．将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是（ ）
A．6 B．3 C．2.5 D．2 【考点】几何问题的最值．
【分析】以BC为边作等腰直角三角形△EBC，延长BE交AD于F，得△ABF是等腰直角
△BCE，三角形，作EG⊥CD于G，得△EGC是等腰直角三角形，在矩形ABCD中剪去△ABF，
△ECG得到四边形EFDG，此时剩余部分面积的最小
【解答】解：如图以BC为边作等腰直角三角形△EBC，延长BE交AD于F，得△ABF是等腰直角三角形，
作EG⊥CD于G，得△EGC是等腰直角三角形，
在矩形ABCD中剪去△ABF，△BCE，△ECG得到四边形EFDG，此时剩余部分面积的最小=4×6﹣×4×4﹣×3×6﹣×3×3=2.5． 故选C．
二、填空题
1.（2020·湖北黄冈）如图，已知△ABC, △DCE, △FEG, △HGI是4个全等的等
腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一条直线上，且AB=2，BC=1. 连接AI，交FG于点Q，则QI=_____________. A D F H
Q
B C E G I
（第14题）
【考点】相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质.
1【分析】过点A作AM⊥BC. 根据等腰三角形的性质，得到MC=12BC=2，从而
MI=MC+CE+EG+GI=7计算出AM和AI的值；根据等腰三角2.再根据勾股定理，
GI形的性质得出角相等，从而证明AC∥GQ，则△IAC∽△IQG，故QIAI=CI，可计
算出QI=43.
A D F H
Q
B M C E G I 【解答】解：过点A作AM⊥BC.
1根据等腰三角形的性质，得 MC=12BC=2.
∴MI=MC+CE+EG+GI=72.
215在Rt△AMC中，AM2=AC2-MC2= 22-（12）=4.
2AI=
AM2?MI=
2154?(7)=4. 2易证AC∥GQ，则△IAC∽△IQG
GI∴QIAI=CI 1即QI4=3
∴QI=43.
故答案为：43.
2. (2020·四川资阳)如图，在3×3的方格中，A、B、C、D、E、F分别位于格
点上，从C、D、E、F四点中任取一点，与点A、B为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是 ．
【考点】概率公式；等腰三角形的判定．
【分析】根据从C、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，选取D、C、F时，所作三角形是等腰三角形，即可得出答案．
【解答】解：根据从C、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，选取D、C、F时，所作三角形是等腰三角形， 故P（所作三角形是等腰三角形）=；
