平面解析几何直线部分解题思路
在数学学习中，许多同学感觉到对所学习的基本
概念已经理解、基本公式已经熟记，但是在做题时却力不从心，这是为什么呢？我认为：一是在学习中没有注意总结归纳基本题型及其解法；二是知道老师归纳过的一些题型解法，但不会进行转化。现介绍平面解析几何直线部分的一些基本题型及其转化方法。
1.关于判断或证明平面内三点共线问题的一般方法： (1)用??计算出
P1Px?x1y?y1??PP2x2?xy2?y公式。只要根据三点坐标分别
x?x1y?y1和的值，若相等则共线，否则不共线； x2?xy2?y (2)用距离公式。根据三点坐标分别计算每两点之距，若最大的距离等于另两个较小距离之和则这三点共线，否则不共线；
(3)用斜率公式。分别计算一个点与另两个点连线的斜率，若两斜率相等或者两斜率都不存在，则这三点共线，否则不共线；
(4)用直线方程。计算经过其中两个点的直线方程，再判断另一个点的坐标是否满足该直线方程，若满足则这三点共线，否则不共线。
2.求一点P(x0,y0)关于一条直线Ax+By+C=0的对称点P1的坐标的问题。
(1) 直线Ax+By+C=0为特殊直线y=x、y=-x、x轴、y轴时,P1的坐标分别为(y0,x0)、(-y0,-x0)、(x0,-y0)、(-x0,y0).
(2) 直线Ax+By+C=0为一般直线时，可设P1的坐标为(x1，y1)，则PP1的中点满足直线方程Ax+By+C=0,并且PP1的斜率与直线Ax+By+C=0的斜率之积为-1,可以得到关于x1、
1
y1的一个二元一次方程组，从而可以解出x1、y1。 (3)公式法. 设P1的坐标为(x1，y1)，由公式
2A(Ax0?By0?C)?x?x?022?1A?B ?2B(Ax0?By0?C)?y1?y0?A2?B2?
求出x1、y1的值。
3.求一直线A1x+B1y+C1=0关于直线A0x+B0y+C0=0对称的直线方程。
(1) 直线A0x+B0y+C0=0为特殊的直线x轴、y轴、y=x、y=-x时，直线A1x+B1y+C1=0关于直线A0x+B0y+C0=0对称的直线方程分别为A1x-B1y+C1=0、-A1x+B1y+C1=0、A1y+B1x+C1=0、-A1y-B1x+C1=0。
(2) 直线A0x+B0y+C0=0为一般直线时:
1>直线A0x+B0y+C0=0与直线A1x+B1y+C1=0平行时，则只需用两平行直线距离公式即可求出要求直线。
2>若直线A0x+B0y+C0=0与直线A1x+B1y+C1=0相交于一A点时,利用到角公式就可以求得直线A1x+B1y+C1=0关于直线A0x+B0y+C0=0对称的直线的斜率k,再利用直线的点斜式方程即可求出要求直线的方程。
4.求直线A1x+B1y+C1=0关于点P(x0,y0)对称的直线方程。根据对称性，只需将直线方程A1x+B1y+C1=0中的x换为2x0-x、y换为2y0-y，即可求出要求直线的方程。 5.已知一直线l被两条已知
A1x+B1y+C1=0-10-55A2x+B2y+C2=0 直线l1：A1x+B1y+C1=0、 l2：A2x+B2y+C2=0所截得的线段中点P的坐标为（x0,y0），求这条直线的方程如图（二）所示。 解法一：设直线l BPD-5AC5101520（图二）与直线l1相交于A(x1,y1), 因为
与直线l2的交点B
2
P(x0,y0)是线段AB的中点，所以直线l
的坐标为(2x0- x1, 2y0 -y1).将点A(x1,y1)、交点B(2x0- x1, 2y0
-y1) 的坐标分别代入直线l1：A1x+B1y+C1=0、 l2：A2x+B2y+C2得方程组??Ax1?By1?C?0?A(2x0?x1)?B(2y0?y1)?C?0,解这个方程
的方程。
组得x1,y1的值，再由两点式就可以得到直线l解法二：由题意, 先求直线A1x+B1y+C1=0关于点P(x0,y0)对称的直线BC的方程，再与A2x+B2y+C2=0联立方程组求出交点B的坐标，根据两点式方程就可以求出要求的直线BP的方程。
6. 已知?ABC的一顶点A的坐标为(x0,y0),∠B、∠C的内角平分线分别为直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0,求边BC所在的直线方程。如图（三）所示。 根据角平分线的性质，点Ａ分别关于∠B、∠C的内角平分线分别为直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0的对称点P、D均在直线BC上,所以只要分
别计算出P、D的坐标,再由两点式方程即可得BC所在直线方程。
7.关于判断直线系F(x,y,λ)=O(λ为参数),是否过定点,若过定点并求出该定点的方法。
方法一:观察法.观察直线系方程F(x,y,λ)=O (λ为参数)是否存某一个常数x0，使得当x=x0时,可以得y=y0是与λ无关的一个值。若存在，直线系F(x,y,λ)=O(λ为参数)就过定点（x0,y0）,若不存在，则直线系F(x,y,λ)=O(λ为参数)就不过定点。
方法二：将直线系方程F(x,y,λ)=O(λ为参数)变
3
-10-5A2x+B2y+C2=0 5ABD-5A1x+B1y+C1=0510 1520CP（图三）
形为方程f(x,y)+λ
g(x,y)=0，令??f(x,y)?0?g(x,y)?0若该方程组有
解,则直线系F(x,y,λ)=O (λ为参数)就过定点，若这个方程组无解,则直线系F(x,y,λ)=O (λ为参数)就不过定点。
8.关于过点A(x0,y0),
5入射光线遇直线A1x+B1y+C1=0的反射光线
-10-5ABFA1x+B1y+C1=0510 1520经过点B(x1,y1),求反射线所在直线方程的有关问题。如图（四）。
D-5C（图四） 根据光学性质，点A关于直线A1x+B1y+C1=0的对称点C在反射光线所在的直线上.因此,只要求出A点关于直线A1x+B1y+C1=0的对称点C的坐标。这样,就知道了反射光线BD上两点的坐标,由两点式就得到反射线所在直线方程。
4
