第 三 章 气体分子热运动速率和能量的统计分布律
3-1 设有一群粒子按速率分布如下： 粒子数Ni 速率Vi（m/s） 试求(1)平均速率V；（2）方均根速率V 解：（1）平均速率：
22 1.00 4 2.00 6 3.00 8 4.00 2 5.00 （3）最可几速率Vp
V?2?1.00?4?2.00?6?3.00?8?4.00?2?5.00?3.182?4?6?8?2(m/s)
(2) 方均根速率
V2??NiVi2?3.37?Ni(m/s)
3-2 计算300K时，氧分子的最可几速率、平均速率和方均根速率。
VP?解：
2RT???2?8.31?300?395m/s32?10?3
V?8RT???8?8.31?300?446m/s3.14?32?10?3 ?3?8.31?300?483m/s?332?10
V23RT?
3-3 计算氧分子的最可几速率，设氧气的温度为100K、1000K和10000K。
VP?解：
2RT?代入数据则分别为：
2V?2.28?10m/s PT=100K时
2V?7.21?10m/s PT=1000K时
3V?2.28?10m/s PT=10000K时
3-4 某种气体分子在温度T1时的方均根速率等于温度T2时的平均速率，求T2/T1。
V解：因
2?3RT?V?
8RT2??
由题意得：
3RT
??8RT2??
3?∴T2/T1=8
3-5 求0℃时1.0cm3氮气中速率在500m/s到501m/s之间的分子数（在计算中可将dv近似地取为△v=1m/s）
解：设1.0cm3氮气中分子数为N，速率在500~501m/s之间内的分子数为△N，由麦氏速率分布律：
?V2m22KTN?4?()e?V2??V2?KT△ N=
3m ∵ Vp2=
2KT
，代入上式 m
4N
△N=?因500到501相差很小，故在该速率区间取分子速率V =500m/s，
?V?1V??2eVp2?V22Vp?V又
VP?2?8.31?273?402m/s28?10?3 △V=1m/s
v－
（ =1.24）代入计算得：△N=1.86×103N个 vp
3-6 设氮气的温度为300℃，求速率在3000m/s到3010m/s之间的分子数△N1与速率在1500m/s到1510m/s之间的分子数△N2之比。 解： 取分子速率为V1=3000m/s
V2=1500m/s, △V1=△V2=10m/s 由5题计算过程可得：
4N△V1=??V?1pV?2eVpV?2eVp22?V122Vp?V1
?V222Vp4N△N2=
??V?1p?V2
(V12)?eVp?(V12)Vp∴ △N/△N2=
V12?(Vp)()eVpV12
其中VP=
2?8.31?5733?2.18?102?10?3m/s
v1v2 =1.375， =0.687 vpvp
2?N11.3752?e?1.375??0.9692?0.6872?N20.687?e ∴
解法2：若考虑△V1=△V2=10m/s比较大，可不用近似法，用积分法求△N1，△N2
V22VP4N dN= △N1= △N2=
??Vp?3e?V2dV
?V2V1V4dN??dN??dN00V2V1
?V3dN??dN??dN00V4V3vi 令Xi= i=1、2、3、4利用16题结果:
vp
?Vi0dN?N[erf(xi)?2?2xie?xi2
N[erf(x2)?∴ △N1=
?xie2?x2]?N[erf(x1)?2?x1e22?x1] （1）
N[erf(x4)? △N2=
2?x4e?x4]?N[erf(x3)?2?x3e?x3] （２）
22RT其中VP=
??2.182?103m/s
x1?V1V?1.375x2?2?1.379VPVP V3V?0.687x4?4?0.6722VPVP
x3?查误差函数表得：
erf(x1)=0.9482 erf(x2)=0.9489
erf(x3)=0.6687 erf(x4)=0.6722 将数字代入（１）、（２）计算，再求得：
?N1?0.703?N2
3-7 试就下列几种情况，求气体分子数占总分子数的比率：
（1） 速率在区间vp～1.0vp1内
（2） 速度分量vx在区间vp～1.0vp1内
（3） 速度分量vp、vp、vp同时在区间vp～1.0vp1内
解：设气体分子总数为N，在三种情况下的分子数分别为△N1、△N2、△N3
（1） 由麦氏速率分布律：
△ N=
?V2V1dN??dN??dN00V2V1
xi?令v2=1.01vp，vi=vp，
vivpx1?，则
v1?1vpx2?，
v2?1.01vp，利用16题结果可得；
22?N122?x2?x1?erf(x2)?x2e?erf(x1)?x1eN??
查误差函数表：erf（x1）=0.8427 erf（x2）=0.8468
?N1?0.008N∴
（2） 由麦氏速率分布律：
2vxdNx?N?ve?1p?v2pdvx
?(vx2)vp?N2?∴
N?1v?ep?0v2dvx?N?1v?p?e0v1?(vx2)vpdvx
?N21?N??v2vp0vv1exp[?(x)2]d(x)?vpvp??v1vp0exp[?(vx2v)]d(x)vpvp
x?令
vxvpx1?，
v1?1vpx2x2?，
v2?1.01vp1
?N21??∴N利用误差函数：
?0e?x2dx???x10e?x2?dx
erf(x)?2??x0exp(?x2)dx
