2011级工科硕士研究生
《矩阵与数值分析》课程数值实验题目
一、 对于数列1,1111,,,,?，有如下两种生成方式 3927811、首项为a0?1，递推公式为an?2、前两项为a0?1,a1?1313an?1,n?1,2,?103；
；
，递推公式为an?an?1?an?2,n?2,3,?给出利用上述两种递推公式生成的序列的第50项。
解：matlab编程 1、
c1(1)=1; for t1=2:50
c1(t1)=c1(t1-1)/3; end c1(50)
运算结果：ans = 4.1788e-024 2、
c2(1)=1;c2(2)=1/3; for t2=3:50
c2(t2)=c2(t2-1)*10/3-c2(t2-2); end c2(50)
运算结果：ans =-4.9661e+006
二、 利用迭代格式
xk?1?10xk?4, k?0,1,2,?
及Aitken加速后的新迭代格式求方程x3?4x2?10?0在[1, 1.5]内的根
解：matlab编程 k=1;x(1)=1.3;f=1;
while (abs(f)>1.0e-6)
x(k+1)=sqrt(10/(x(k)+4)); k=k+1;
f=x(k)^3+4*x(k)^2-10; end x,f
clear
k=1;x(1)=1.3;f=1;
while (abs(f)>1.0e-6)
y(k)=sqrt(10/(x(k)+4)); z(k)=sqrt(10/(y(k)+4));
x(k+1)=z(k)-(z(k)-y(k))^2/(z(k)-2*y(k)+x(k)); k=k+1;
f=x(k)^3+4*x(k)^2-10; end x,f
运算结果：x =1.3000 1.3735 1.3641 1.3653 1.3652 1.3651 1.3651 1.3651 f =5.8603e-007
x =1.3000 1.3651 1.3651 f =2.5046e-012
分析：原迭代格式运算8次，达到精度要求；而是用Aitken加速后，只用3次迭代，即Aitken加速可以明显加快迭代速度。
三、解线性方程组
1．分别Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组
?6?2???2??125031082?2??x1???2x2??5??x3??7??x4??4????7????,???1? ???0???
迭代法计算停止的条件为：max1?j?3xj(k?1)?xj(k)?10?6．
解：matlab编程 1
Xj=[0;0;0;0];Xg=[0;0;0;0]; A=[6 2 1 -2; 2 5 0 -2; -2 0 8 5; 1 3 2 7]; b=[4;7;-1;0]; D=diag(diag(A)); L=-tril(A)+D; U=-triu(A)+D; Bj=inv(D)*(L+U); f=inv(D)*b; k=1;flag=1;
Xj(:,k+1)=Bj*Xj(:,k)+f; while flag==1
if abs(Xj(:,k+1)-Xj(:,k))<1e-6 flag=0; else
k=k+1;
Xj(:,k+1)=Bj*Xj(:,k)+f; end end Xj
Bg=inv(D-L)*U; fg=inv(D-L)*b; k=1;flag=1;
Xg(:,k+1)=Bg*Xg(:,k)+fg; while flag==1
if abs(Xg(:,k+1)-Xg(:,k))<1e-6 flag=0; else
k=k+1;
Xg(:,k+1)=Bg*Xg(:,k)+fg; end end Xg
运算结果：Xj =Columns 1 through 11
0 0.6668 0.2208 0.0622 0.0838 0.0567 0.0537 0.0535 0.0522 0.0522 0.0521
0 1.4000 1.1333 1.0478 1.1635 1.1442 1.1478 1.1515 1.1505 1.1509 1.1509
0 -0.1250 0.0416 0.3424 0.2212 0.2433 0.2478 0.2432 0.2448 0.2447 0.2446
0 0 -0.6593 -0.5292 -0.5557 -0.5738 -0.5681 -0.5704 -0.5706 -0.5705 -0.5706 Columns 12 through 16
0.0521 0.0521 0.0521 0.0520 0.0520 1.1509 1.1509 1.1509 1.1509 1.1509 0.2445 0.2445 0.2445 0.2445 0.2445 -0.5707 -0.5707 -0.5707 -0.5707 -0.5707 Xg =
0 0.6667 0.0843 0.0551 0.0523 0.0521 0.0520 0.0520
0 1.1332 1.1291 1.1490 1.1508 1.1508 1.1509 1.1509
0 0.0417 0.2666 0.2464 0.2448 0.2446 0.2446 0.2446
0 -0.5928 -0.5721 -0.5707 -0.5706 -0.5706 -0.5706 -0.5706
2. 用Gauss列主元消去法、QR方法求解如下方程组：
?2212??x??1??1????413?1????x2???4?201??x??2???1?. ??2323??3?????x4??0?
2、
A=[2 2 1 2; 4 1 3 -1; -4 -2 0 1; 2 3 2 3]; b=[1;2;1;0]; Ab=[A b]; for j=1:3 k=j;
max(j)=Ab(j,j); for i=(j+1):4
0.0521 1.1509 0.2446 -0.5706
