二次函数
y=ax2
+bx+c系数符号的确定方法
一、知识要点
二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：
（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0． （2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断 符号．a,b同号在左;异号
在右.
（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0． （4）b2-4ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2-4ac＞0； 1个交点，b2-4ac=0； 没有交点，b2-4ac＜0．
（5）当x=1时，可确定a+b+c的符号，当x=-1时，可确定a-b+c的符号．
（6）由对称轴公式x=，可确定2a+b的符号． 二、基础练习1、（2011?重庆）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）
在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ） A、a＞0 B、b＜0 C、c＜0 D、a+b+c＞0 2、（2011?雅安）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＜0，则正确的结论是（ ）
A、①②③④ B、②④⑤ C、②③④ D、①④⑤ 3、（2011?孝感）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（ 1/2，1），下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac-b2=4a；④a+b+c＜0．其中正确结论的个数是（ ） A、1 B、2 C、3 D、 4、（2011?山西）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（ ） A、ac＞0
B、方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3 C、2a-b=0
D、当x＞0时，y随x的增大而减小 5、（2011?泸州）已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0，②b2-4ac＜0，③a-b+c＞0，④4a-2b+c＜0，其中正确结论的个数是（ ） A、1 B、2 C、3 D、4 6、（2011?兰州）如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息： （1）b2-4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a-b＜0；（4）a+b+c＜0．你认为其中错误的有（ ）
A、2个 B、3个 C、4个 D、1个 7、（2011?昆明）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A、b2-4ac＜0 B、abc＜0
C、 -b2a＜-1 D、a-b+c＜0 8、（2011?鸡西）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示， 现有下列结论：①b2-4ac＞0 ②a＞0 ③b＞0 ④c＞0 ⑤9a+3b+c＜0， 则其中结论正确的个数是（ ）A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 9、（2011?防城港）已知二次函数y=ax2的图象开口向上，则直线y=ax-1经过的象限是（ ）
A、第一、二、三象限 B、第二、三、四象限C、第一、二、四象限 D、第一、三、四象限 10、（2010?昭通）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A、a＜0，b＜0，c＞0，b2-4ac＞0 B、a＞0，b＜0，c＞0，b2-4ac＜0 C、a＜0，b＞0，c＜0，b2-4ac＞0 D、a＜0，b＞0，c＞0，b2-4ac＞0 11、（2010?梧州）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（ ）
A、ac＜0 B、a-b+c＞0 C、b=-4a
D、关于x的方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=5
1
12、（2010?文山州）已知二次函数y=ax2
+bx+c的图象如图所示，则a，b，c满足（ ）
A、a＜0，b＜0，c＞0，b2-4ac＞0 B、a＜0，b＜0，c＜0，b2-4ac＞0 C、a＜0，b＞0，c＞0，b2-4ac＜0 D、a＞0，b＜0，c＞0，b2-4ac＞0 13、（2010?铁岭）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论，其中正确的结论是（ ）
A、abc＞0 B、b＞a+c C、2a-b=0 D、b2
-4ac＜0 14、（2010?钦州）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：
①ac＞0；②a-b+c＜0；③当x＜0时，y＜0；④方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个大于-1的实数根． 其中错误的结论有（ ）
A、②③ B、②④ C、①③ D、①④ 15、（2010?黔南州）如图所示为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，在下列选项中错误的是（ ） A、ac＜0
B、x＞1时，y随x的增大而增大 C、a+b+c＞0
D、方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=3 16、（2010?荆门）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论错误的是（ ）
A、ab＜0 B、ac＜0
C、当x＜2时，函数值随x增大而增大；当x＞2时，函数值随x增大而减小 D、二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根 17、（2010?福州）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A、a＞0 B、c＜0 C、b2
-4ac＜0 D、a+b+c＞0
18、（2010?鄂州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论①a，b异号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=4时，x的取值只能为0，结论正确的个数有（ ）个． A、1 B、2 C、3 D、4 19、（2010?百色）二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示，下列几个结论： ①对称轴为x=2；②当y≤0时，x＜0或x＞4；③函数解析式为y=-x（x-4）；④当x≤0时，y随x的增大而增大． 其中正确的结论有（ ）
A、①②③④ B、①②③ C、①③④ D、①③
三、能力练习
1.（2010?广安）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②b＜a+c；③2a+b=0；④a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．
其中正确的结论有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
2.如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=1，下列结论：①b＜0；②（a+c）2＞b2；③2a+b-c＞0；④3b＜2c．其中正确的结论有 ①③④（填上正确结论的序号）．
2
解：∵抛物线的开口方向向上，∴a＞0，∵对称轴为x=$-\\frac{b}{2a}$=1，得2a+b=0，2a=-b， ∴a、b异号，即b＜0，∴①正确；∵抛物线与轴的交点在y轴负半轴，∴c＜0，∴2a+b-c=-c＞0，∴③正确；∵当x=1时，y=a+b+c＜0，∵当x=-1时，y=a-b+c＞0，∴2a-2b+2c＞0，∴-b-2b+2c＞0，∴3b＜2c，∴④正确；∵a+b+c＜0，a-b+c＞＞0，∴（a+b+c）（a-b+c）＜0，即（a+c）2-b2＜0，②错误．正确答案：①③④．
3.（2011?广西）已知：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②2a+b＜0；③a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）；④（a+c）2＜b2；⑤a＞1．其中正确的项是（ ）
A、①⑤ B、①②⑤ C、②⑤ D、①③④
解：①∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c＜0， ∵对称轴为x=故本选项正确； ②∵对称轴为x=
＞0，a＞0，-＜1，∴-b＜2a，∴2a+b＞0；故本选项错误；
＞0，∴a、b异号，即b＜0，又∵c＜0，∴abc＞0，
解：①根据图示知，二次函数与x轴有两个交点，所以△=b2-4ac＞0；故本选项正确； ②根据图示知，该函数图象的开口向上，∴a＞0；又对称轴x=-=1，∴
＜0，∴b＜0；
又该函数图象交于y轴的负半轴，∴c＜0；∴abc＞0；故本选项正确； ③∵对称轴x=-=1，∴b=-2a，可将抛物线的解析式化为：y=ax2-2ax+c（a≠0）；
由函数的图象知：当x=-2时，y＞0；即4a-（-4a）+c=8a+c＞0，故本选项正确；也可以：当x=4时，从图像上看y＞0，此时16a+4b+c＞0,而从对称性看出-
b=1，解得b=-2a，代2a入上式得8a+c＞0；
④根据抛物线的对称轴方程可知：（-1，0）关于对称轴的对称点是（3，0）；当x=-1时，y＜0，所以当x=3时，也有y＜0，即9a+3b+c＜0；故本选项正确；所以这四个结论都正确．故答案为：4．
5.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列结论正确序号是 （只填序号）．①abc＞0，②c=-3a，③b2-4ac＞0，④a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）．
解：①正确，∵与y轴交于负半轴，所以c＜0，∵开口向上，∴a＞0，
又∵对称轴在y轴右侧，∴-＞0，∴b＜0，∴abc＞0．
③当x=1时，y1=a+b+c；
当x=m时，y2=m（am+b）+c，当m＞1，y2＞y1；当m＜1，y2＜y1，所以不能确定；故本选项错误；
④当x=1时，a+b+c=0；当x=-1时，a-b+c＞0；∴（a+b+c）（a-b+c）=0，即（a+c）-b=0，∴（a+c）2=b2故本选项错误
⑤当x=-1时，a-b+c=2；当x=1时，a+b+c=0，∴a+c=1，∴a=1+（-c）＞1，即a＞1；故本选项正确；综上所述，正确的是①⑤．故选A．
4.（2010?天津）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：
①b2-4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0 其中，正确结论的个数是（ ）A、1 B、2 C、3 D、4
2
2
②正确，∵ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1=-1，x2=3，根据根与系数的关系，=3×（-1）=-3，即c=-3a．
③正确，∵函数图象与x轴有两个点，∴b2-4ac＞0；
④正确，由函数图象可知，对称轴为x=1，此时y取最小值为：a+b+c；
∵当x=m时，y值为：am2+bm+c；∴am2+bm+c＞a+b+c，（m≠1的实数），∴a+b＜m（am+b）．故结论正确序号是①②③④．
3
6.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①a+b+c=0；②4a+b=0；③abc＜0；④4ac-b2＜0；⑤当x≠2时，总有4a+2b＞ax2+bx其中正确的有 （填写正确结论的序号）．
解：①由图象可知：当x=1时y＜0，∴a+b+c＜0． ②由图象可知：对称轴x=-=2，∴4a+b=0，∴正确；
2
（4）由图象知与X轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，即（4）b2-4ac＞0（正确），∵m＞1， 当x=1时，y1=ax2+bx+c=a+b+c，
当x=m时，y2=ax2+bx+c=am2+bm+c=m（am+b）+c，由图象知y1＞y2，即（5）a+b+c＞m（am+b）+c（正确），
综合上述：（1）（3）（4）（5）正确 有4个正确．
8.如图是二次函数y=ax+bx+c图象的一部分，图象过点A（x1，0），-3＜x1＜-2，对称轴为x=-1．给出四个结论：
①abc＞0；②2a+b=0；③b2＞4ac；④a-b＞m（ma+b）（m≠-1的实数）；⑤3b+2c＞0．其中正确的结论有（ ） A．2个B．3个C．4个D．5个
2
由抛物线与x轴有两个交点可以推出b-4ac＞0，正确；
③由抛物线的开口方向向下可推出a＜0因为对称轴在y轴右侧，对称轴为x=-＞0，又因为a＜0，b＞0；
由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，故abc＞0，错误； ④由抛物线与x轴有两个交点可以推出b2-4ac＞0∴4ac-b2＜0正确；
⑤∵对称轴为x=2，∴当x=2时，总有y=ax2+bx+c=4a+2b+c＞0，∴4a+2b＞ax2+bx正确．故答案为：①②④⑤．
7.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如下图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②a-b+c＞0；③2a+b=0；④b2-4ac＞0⑤a+b+c＞m（am+b）+c，（m＞1的实数），其中正确的结论有（ ） A．1个B．2个C．3个D．4个
解：由图象可知：开口向下，与Y轴交点在X轴的上方，对称轴是x=1，∴c＞0，a＜0，-=1，
解：①由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴的正半轴
上，
∴c＞0，对称轴为x=
=-1，得2a=b，∴a、b同号，即b＜0，
∴abc＞0；故本选项正确； ②∵对称轴为x=
=-1，得2a=b，∴2a+b=4a，且a≠0，∴2a+b≠0；故本选项错误；
③从图象知，该函数与x轴有两个不同的交点，所以根的判别式△=b2-4ac＞0，即b2＞4ac； 故本选项正确；
④图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为x=-1，能得到：a＜0，c＞0，-=-1，∴
∴2a+b=0，b＞0，∴（1）abc＜0（正确），（3）2a+b=0（正确），
（2）当x=-1时，y=ax2+bx+c=a-b+c，由图象可知当x=-1时y＜0，即a-b+c＜0，∴（2）a-b+c＞0（不正确），
b=2a，∴a-b=a-2a=-a，m（ma+b）=m（m+2）a，假设a-b＞m（am+b），（m≠1的实数）即-a＞m（m+2）a，所以（m+1）2＞0，满足题意，所以假设成立，故本选项正确；
4
