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第四节 空间中平行的判定与性质
考点 空间中平行的判定与性质
1．(20132广东，6)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )
A．若α⊥β，m?α，n?β，则m⊥n B．若α∥β，m?α，n?β，则m∥n C．若m⊥n，m?α，n?β，则α⊥β D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
解析 A项中，m与n还可能平行或异面，故不正确； B项中，m与n还可能异面，故不正确； C项中，α与β还可能平行或相交，故不正确； D项中，∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α. 又n∥β，∴α⊥β，故选D. 答案 D
2．(20122四川，6)下列命题正确的是( )
A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 解析 若两条直线和同一平面所成的角相等，则这两条直线可平行、可异面、可相交．选项A错；
如果到一个平面距离相等的三个点在同一条直线上或在这个平面的两侧，则经过这三个点的平面与这个平面相交，选项B不正确；
如图，平面α∩β＝b，a∥α，a∥β，过直线a作平面ε∩α＝c，过直线a作平面γ∩β＝d， ∵a∥α，∴a∥c， ∵a∥β，∴a∥d，∴d∥c， ∵c?α，d?α，∴d∥α，
又∵d?β，∴d∥b，∴a∥b，选项C正确；
若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面可平行、可相交，选项D不正确． 答案 C
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3．(20152江苏，16)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E. 求证：(1)DE∥平面AA1C1C； (2)BC1⊥AB1.
证明 (1)由题意知，E为B1C的中点， 又D为AB1的中点，因此DE∥AC. 又因为DE?平面AA1C1C，AC?平面AA1C1C， 所以DE∥平面AA1C1C.
(2)因为棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱， 所以CC1⊥平面ABC.
因为AC?平面ABC，所以AC⊥CC1.
又因为AC⊥BC，CC1?平面BCC1B1，BC?平面BCC1B1，BC∩CC1＝C， 所以AC⊥平面BCC1B1. 又因为BC1?平面BCC1B1， 所以BC1⊥AC. 因为BC＝CC1，
所以矩形BCC1B1是正方形， 因此BC1⊥B1C.
因为AC，B1C?平面B1AC，AC∩B1C＝C， 所以BC1⊥平面B1AC. 又因为AB1?平面B1AC， 所以BC1⊥AB1.
4．(20142江苏，16)如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5. 求证：(1)直线PA∥平面DEF； (2)平面BDE⊥平面ABC. 证明
(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥PA. 又因为PA?平面DEF，DE?平面DEF， 所以直线PA∥平面DEF.
(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，
1
所以DE∥PA，DE＝PA＝3，
2
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EF＝BC＝4.
又因为DF＝5， 故DF＝DE＋EF，
所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF. 又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.
因为AC∩EF＝E，AC?平面ABC，EF?平面ABC， 所以DE⊥平面ABC. 又DE?平面BDE， 所以平面BDE⊥平面ABC.
5．(20142新课标全国Ⅱ，18)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点． (1)证明：PB∥平面AEC；
(2)设二面角D－AE－C为60°，AP＝1，AD＝3，求三棱锥E－
2
2
2
12
ACD的体积．
(1)证明 连接BD交AC于点O，连接EO. 因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点． 又E为PD的中点，所以EO∥PB. 又因为EO?平面AEC，PB?平面AEC， 所以PB∥平面AEC.
(2)解 因为PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直．
→→
如图，以A为坐标原点，AB的方向为x轴的正方向，|AP|为单位长，建立空间直角坐标系
A－xyz，则D(0，3，0)，E?0，??31?→?31?，?，AE＝?0，，?. 22?22??
→
设B(m，0，0)(m>0)，则C(m，3，0)，AC＝(m，3，0)． 设n1＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，
?mx＋3y＝0，→??n12AC＝0，?
则?即?31
→y＋z＝0，??n12AE＝0，?2?2
可取n1＝?
?3?
，－1，3?. ?m?
31
2＝，3＋4m2
1
又n2＝(1，0，0)为平面DAE的法向量，由题设知|cos〈n1，n2〉|＝，即
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解得m＝.因为E为PD的中点，所以三棱锥E－ACD的高为，三棱锥E－ACD的体积V＝
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131333333＝. 2228
6．(20142湖北，19)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱
AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)．
(1)当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；
(2)是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由． 法一(几何法)
(1)证明 如图1，连接AD1，由ABCD－A1B1C1D1是正方体，知BC1∥AD1. 当λ＝1时，P是DD1的中点，又F是AD的中点，所以FP∥AD1. 所以BC1∥FP.
而FP?平面EFPQ，且BC1?平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.
1(2)解 如图2，连接BD.因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EF∥BD，且EF＝BD.
2又DP＝BQ，DP∥BQ，
所以四边形PQBD是平行四边形， 故PQ∥BD，且PQ＝BD， 1
从而EF∥PQ，且EF＝PQ.
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