学而思教育 学习改变命运，思考成就未来
第四讲 几何图形认知
挑战例题
例1 生活中我们常常碰到简单的几何图形所表示的指示标识，例如马路上的各种交通标识，汽
车上不同的车牌符号标识，甚至于在天气预报，安全通道等等都有通用的图形标识。图形
可以很方便地告诉我们要表达的意思，而且图形可以跨越语言的界限，在每个国家也基本上都大同小异。看下面几组常见的标识，每一个都表达什么意思呢？
分析解答 第一组是交通指示标识，依次是：禁止驶入、加油站、限制高度3.5米、避车道、前面有天桥。
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第二组是由简单图形组成的国旗，依次是希腊国旗、以色列国旗，瑞士国旗。 第三组是汽车标识，依次是丰田、奔驰、东风、红旗、长安。
第四组是天气预报和银行标志，依次是多云、雨转晴、阴天、中国银行、中国工商银行。
由于是对称的，例2 右图所示的是一块用来铺墙的瓷砖，
两块瓷砖可以自然地拼接起来。问题是：想要构成
这种瓷砖，至少需要几种图形呢？
尽管看上去无论如何都至少要有两种不
分析解答 同大小的黄色正方形才能构成，但事实
上用一种就足够了。这是因为我们的眼睛总会把简单而明显的东西当作图形，而把剩下的当作背景。假如反过来，将整
个瓷砖中的黄色看作是背景的话，全部的图案就是由左边这些紫色的小东西构成的。排除掉干扰，你
看出来了吗？
例3 在下面的每个三角形中，画出三条高。
这三个三角形分别是锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。我们知道，在三角形中，如果有一个是直角，就叫做直角三角形；如果有一个叫是钝角，叫钝
角三角形；如果三个角都是锐角，则叫做锐角三角形。 三角形有三条边，三个内角，还有三条高，所谓高，就是从三角形的一个顶点向对边所作的垂线。和高对应的边叫做底，三角形的三条边都可以当作底。 A 通常我们用大写字母来标记三角形的顶点，例如三角形ABC，也可以直接写作△ABC。如图，从A点向底边BC做垂线，垂足是D，AD叫做三角形BC边上的高，同样地，可以做出其他两条高BE和CF。 F E 对于直角三角形GHI，由于其中已经有G 一个直角，即这表示如果从顶点G向HI作垂
C B J D 线或从顶点I向GH作垂线，垂足都是H，于
是在这里两条直角边GH和HI分K 别就是两条高，另外一条高是GI边上的高HJ。 I H 在钝角三角形KLM中，最长
分析解答 N 学而思教育 小学二年级
L M OP 学而思教育 学习改变命运，思考成就未来
边KL边上的高容易做出，从M点向对边引垂线MN即可。其他两条比较麻烦，因为从K点向对边作垂线，没法作到LM中间去，于是只能延长LM，作垂线KP，垂足是P，这样KP就是LM边上的高，同样地可以作出KM边上的高LO。 作三角形的高是研究几何的基本功，在以后几何问题的学习中非常重要。大家一定要对三角形的高非常熟悉，要做到无论在哪个方向，以哪条边为底，都能迅速判断出三角形的高是哪条。
例4 请用直尺分别画出一个正方形、长方形、菱形、平行四边形、梯形，再画一个不属于上面
几类的任意四边形，说说这几类四边形的关系，哪种包含哪种？
如下图，这几种图形我们都非常熟悉了，但要描述好每个图形还确实不容易。 分析解答
梯形是只有一条对边平行的四边形，在梯形中，我们管平行的上下两条边叫上底和下底。如右图，在这上下两底之间，可以作出无数条垂线，都是梯形的高。 若四边形两组对边都平行，则是平行四边形，它同样有无数条高，但因为平行四边形对边长度相等，所以不分上下底，统称为底。平行四边形的每条边都可以做底。
长方形也叫矩形（读jǔ），是一种特殊的平行四边形，即四个内角都是直角的平行四边形，在矩形中，底和高分别被叫做长和宽。
菱形也是一种特殊的平行四边形，即四条边都相等的平行四边形。 正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形。它集合了菱形和矩形的特点，即四个角都是直角的菱形，或者说长和宽相等的矩形。在正方形中，长和宽统称为边长。
四边形 右面用图形的包含来描述一下这几种
平行四边形 四边形的关系。
注意：平行四边形不是一种特殊的梯
形，梯形是只有一对边平行的四边形。
正
方 长方形 形 梯形
菱形
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例5 我们在日常生活中每天都会看到各种各样的多边形，例如在家里的墙上、地板砖上，现在观察下面这些图，多边形有如此之多的组合方式，确实让人眼花缭乱。
请问：上面12幅图中哪些是正多边形，哪些是不闭合多边形、闭合多边形、简单多边形、复杂多边形、复合多边形、凸多边形、凹多边形？
一个多边形如果下面两个条件我们叫它正多边形：1、各条边都相等；2、各个分析解答 内角都相等。例如在图中，6、12号是正五边形和正八边形。我们最常见的两种
正多边形是正三角形和正方形，一般也可以把圆看作是有无数条边的正多边形。 如果图形的最后一条边的终点和第一条边的起点不重合，称之为不闭合多边形；反过来，如果最后一条边的终点和第一条边的起点重合，我们叫它闭合多边形。在上图中，只有1和8是不闭合多边形，其他的都是闭合多边形。通常我们见到的基本图形都是闭合多边形。 任意两条边都不相交（顶点不算相交）的多边形称之为简单多边形。简单多边形将平面分为两个部分，里面和外面，在上图中，4、5、6、10、11、12都是简单多边形。 多边形的边存在相交我们称之为复杂多边形，复杂多边形把平面分成两个以上的部分。上图中，2、3、7、9都是复杂多边形。 复合多边形则是几个简单多边形叠加所形成的多边形，有重叠的部分，例如上图中的3、9。 多边形内任意两点连成的线段都在多边形里面，这样的多边形称作凸多边形；反之若多边形内存在两点，它们的连线在多边形外，则称作凹多边形。例如上图中的5、6、10、12是凸多边形，其余的是凹多边形。
（ ）条棱，（ ）个面？下面哪些图形是正方体的平例6 一个正方体有（ ）个顶点，
面展开图？
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