研究生课程论文
论文题目 数学归纳法在中学数学中的灵活使用
课程名称 数学方法论 学 院 数计院 日期(年月日) 2014年1月14日
专 业 学科教学（数学） 年 级 研一
数学归纳法在中学数学中的灵活使用
摘 要：本文主要从数学归纳法的整体结构出发,对数学归纳法的原理与方法、理论与应用进行分析,并介绍了数学归纳法在解决几何证明、数列证明、不等式证明和数的整除证明等方面的灵活运用，目的是通过应用数学归纳法解题从而培养学生的运算能力、观察能力、逻辑思维能力和解决综合性问题的能力。
关键词：数学归纳法；中学数学；问题分析
每一个数学研究工作者都必须精通某些微观的数学方法论，才能有效地开展科研工作，获得丰硕成果。教师们也必须熟知这些方法论才能实行启发式教学法。下面就让我来介绍数学归纳法在中学数学中的灵活使用。
数学归纳法是数学中一种证明与自然数 n 有关的数学命题的重要方法，是通过有限次的验证、假设和论证来代替无限次的事例的验证，从而达到严格证明命题的目的，也就是把从某些特殊情况下归纳出来的规律，利用递推的方法，从理论上证明这一规律的一般性。合理地运用数学归纳法解决问题是中学数学教学中的一个重要内容。
首先我们来看看数学归纳法的基本原理，数学归纳法来源于皮亚诺(peano)自然数公理，自然数有以下性质：
(1)1是自然数字；
(2)每一个确定的自然数?,都有一个确定的后继数?,?也是自然数； (3)1不是任何自然数的后继数；
(4)一个数只能是某一个数的后继数,后者根本不是后继数,即当?n??的时候一定有???；
(5)任意一个自然数的集合如果包含1，并且包含?，也一定包含?的后继数 ?,那么这个集合包含所有的自然数。
性质(5)就是数学归纳法的根据。
数学归纳法原理的形式有很多种,在此我只给出与中学数学内容有关的形式及其变形,并揭示它的逻辑结构。
形式：设 p(n)是关于自然数 n 的命题，若①p(1)成立；②\∈N，若 p(n)成立→p(n+1)成立,则 p(n)对 \∈N 都成立。
变形:设 p(n)为自然数 n 的命题，若①p?n0?成立?n0?N?；②\∈N，
n?n0，若 p(n)成立→p(n+1)成立。则 p(n)对 \∈N,n?n0都成立。
根据数学归纳法原理的形式,我们在证明有关的自然数命题时可相应地按照以下两个步骤来进行:
①验证 p(1)是成立(奠基步骤)；
②假设 p(n)成立，导出 p(n+1)也成立（归纳步骤）； 由①、②可知 p(1)对 \∈N 成立。
这就是数学归纳法的最基本的形式,通常称作第一数学归纳法。数学归纳法的中心思想是:用有限次的验证和一次逻辑推理,代替无限次的验证过程,实现从无限到有限的转化。
学生学会了数学归纳法,意味着既掌握了一种证明方法,可以解决很多以前他们解决不了的问题,又开拓了知识领域。但在利用数学归纳法证明的过程中,不仅会遇到各种技巧上的困难,而且即使学生具有应用数学归纳法的技巧,也常
常不能真正理解它的含义。因此,数学归纳法是一个教学难点,在中学数学教学中应给予足够的重视。
下面我们就来看看数学归纳法的灵活应用： 一、解决几何问题可应用数学归纳法
用数学归纳法证明几何问题的关键是: 由“n=k 时命题成立”,到“n=k+1 时命题成立”。应理解为由 k 个几何元素又增加了一个元素到k+1 个,要找出增加的元素与原来的 k 个几何元素的关系及其引起的几何元素的变化,找到 f(k+1)与 f(k)的关系。
例 1：平面上有 n 条直线,其没有两条平行,也没有三条直线交于一点,求证这 n 条直线共有Pn?1n?n?1?个交点。 2证明(1)当 n=2 时,P2?1,命题成立；
(2)假设当 n=k(k>2)时,命题成立。即 k 条直线有Pk?1k?k?1?个交点。2当n=k+1时,增加了一条直线,由于没有两条直线平行,也没有三条直线相交于一点, 所以新增加的直线与原来 k 条直线各有一个交点,就是比 n=k 条直线时增加了 k 个交点,即
Pk?1?Pk?k（即(f(k+1)=f(k)+k) ?111k?k?1??k?k?k?1???k?1???k?1??1? 222就是当 n=k+1 时,命题也成立。
由(1)和(2)知,对任意自然数 n,命题都成立。 二、 求解数列问题可借助数学归纳法
由于数列与自然数有直接的联系,因而,在数列问题的证明中常常用到数学归纳法的方法进行证明。
例2：已知数列?an?的通项公式an?4，数列?bn?的通项满足2?2n?1?bn??1?a1??1?a2????1?an?。证明bn?2n?1。 1?2n证明：
bn?1??1?an?1?，bn?1?bn?1?an?1? bn2?1成立； 1?2（1)当 n=1 时,b1??1?a1???1?4???3?（2）假设bk?2k?12k?1?1?ak?1? ，则bk?1?1?2k1?2k2k?1?4? ??1??
1?2k??2k?1?2? ? =即 n=k+1 时命题成立。 由(1),(2)得bn?2n?1。 1?2n2k?3
?1?2k2?k?1??1
1?2?k?1?三、 证明不等式可妙用数学归纳法
用数学归纳法证明不等式,在将 f(k)过渡到 f(k+1)时,为了利用归纳假设,在变形中常用替换法放大(或缩小)不等式。
例3：证明对于n?5 的自然数,有2n?n2。
证明：(1)当 n=5 时,左边 =32,右边 =25,不等式成立。
(2)假设当 n=k(k>5)时,不等式成立,即 2k?k2，当 n=k+1,有2k?1?2?2k
2k2?k2?k2；
而k2?k2?k2?5k?k?5,k2?5k又k2?5k?k2?2k?1；
2?2k?1?k2?k2?k2?5k?k2?2k?1??k?1?
??即当 n=k+1 时,不等式也成立。 由(1)和(2)知,不等式成立。
这里我们是先形成不等式的一边(大的一边),再将另一边(小的一边)通过用
k2?5k替换?k?1?，再用2k2替换k2?5k进行放大(根据题的需要也可先形成小的
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