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这样的例子有很多.应帮助学生建立这种转化思路，排列问题就好解决了.
4.4分解与组合方法及案例研究
4.4.1必修1复合函数问题
指数函数，对数函数都涉及复合函数.学生在理解上有困难.原因是复合函数形式复杂，不易辨别.它的性质不易用已有知识研究.复合函数的解决技巧就是“分解”.找出内层函数和外层函数，分别解决再复合到一起.所以在教学时应让学生首先掌握“分解”技巧.直接分解比较抽象，可以先练习“复合”，看看两个函数能复合成什么样子，也就知道一个复合函数怎么分解了.例如：f x =2x，g x =x2?2x+1，先让学生写出f g x 和g[f x ]的解析式，辨析特点.再反过来练习.这样学生接受起来就容易多了. 4.4.2必修2空间几何体的结构和三视图
立体几何中将空间问题化为平面问题是常见的方法.可以将复杂的几何体分割成常见的、普通的，标准型的几何体.或将空间位置关系转化到某一平面内解决.实际上辅助线的选取就是将图形进行分割.这种思想在这节中就有所体现.在学生了解了柱、锥、台、球的几何特征之后，练习简单组合体的结构特征.让学生学会“庖丁解牛”，站在“几何体内部”研究问题.例如用平面截长方体看截面，分析截掉部分和剩下部分的几何特征.所以本节内容应加强“分解”的练习.可拿常见的几何模型为例，如长方体，三棱锥，圆等加以练习，让学生熟悉几何体内部结构特征.
三视图的教学充分体现了空间问题平面化思想.它是利用三个平面图形把握立体图形的方法，通过三视图的练习能加强学生空间想象能力，以“分解”的视角研究几何体.在教学中应向学生渗透这一转化思想，对立体几何的学习是非常有益的. 4.4.3必修2直线与平面垂直的判定及其性质
本节有四个基本定理.线面垂直判定定理和性质定理，面面平行判定定理和性质定理.这四个定理实现了空间垂直关系的转化.垂直的转化从另外一个角度来看，就是将几何结构重新分解、组合.例如我们要证线线垂直，可通过证明线面垂直实现.而要证明线面垂直又要通过线线垂直证明.将问题重新解构.将一组垂直关系转移到另外的垂直关系当中.
例4.5 已知：PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形.连接PD，PC.
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求证：CD⊥PD
B C 图12 A D P 解析：要证CD⊥PD，我们考虑可以通过证明CD⊥平面PAD.那么问题转化为证明线面垂直.因为CD⊥AD，由线面垂直判断定理只须证明CD⊥PA.考虑PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD.问题得证.在本例中，将线的垂直关系多次重组.这就是分解与组合策略的应用.这种方法在研究平行关系时仍然使用，也是立体几何部分常见的方法.在教学时应引以重视.
4.4.4必修3算法与程序框图
算法是指按照一定规则解决某类问题的明确的有限的步骤.即把问题分解为明确的可执行的步骤.这是处理解决问题的一般方法.通过算法的学习，能提高逻辑思维能力，发展有条理地思考与数学表达能力.算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的基础.算法思想已经成为现代人应具备的一种基本数学素养.计算机解决任何问题都依赖于算法.只有将待解决问题分解为若干个明确步骤，即算法，并且用计算机能接受的“语言”准确地表述出来，计算机才能解决问题.算法的教学是分解与组合思想十分重要的载体.在教学中要注意引导学生如何将问题分解，要注意算法的准确性和简洁性与可执行性.
例4.6 设计一个求解一元二次方程ax2+bx+c=0的算法，并画出程序框图
表示.
解析:若判别式?=b2?4ac>0,则原方程有两个不相等的实数根
x1=
?b+ ??b+ ?和 x2= 2a2ab
若?=0，则原方程有两个相等的实数根x1=x2=?2a ；若?<0，则原方程没有实数根.也就是说在求解方程之前，可以先判断判别式的符号，根据判断的结果执行不同的步骤，这个过程可以用条件结构实现.又因为方程的两个跟有相同的部分，为了避免重复计算，可以在计算x1和x2之前，先计算p=?2a,q=
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b
?2a
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解决这一问题的算法步骤如下：
第一步，输入三个系数a，b，c. 第二步，计算?=b2?4ac. 第三步，判断?≥0是否成立.若是，则计算p=?2a,q=数根“，结束算法.
第四步，判断?=0是否成立.若是，则输出x1=x2=p；否则，计算 x1=p+q,x2=p?q,并输出x1，x2. 程序框图如下：
结 束 图13
输出p 输出x1，x2 输出“方程没有实数根“ b
?2a
；否则，输出“方程没有实
开 始 输入a，b，c ?=b2?4ac ?≥0？ b ?p=?,q= 2a2a?=0 x1=p+q x2=p?q 27
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算法案例中介绍了三个经典的算法案例.分别是辗转相除法与更相减损术；秦九韶算法和进位制.都是分解与组合方法的典型应用. 4.4.5必修5数列
我们知道深入事物内部分析会更接近事物本质.对事物的了解也会更加深入.等差数列本质是相邻后一项与前一项的差相等.我们用分解的方式加深对等差数列的理解.
例如：等差数列a1,a2,a3,a4,??,an中我们以新的方式重新组合如下： a3,a4,a5成等差数列，a2,a4,a6也成等差数列，a1，a4,a7也是一样.所以有 a42=a3a5=a2a6=a1a7.故有性质：
an2=an?kan+k和ap+aq=am+an，p+q=m+n.再如将各项再重新组合如下：a1+a2,a3+a4,a5+a6,??
可以得到这些和构成的数列仍然是等差数列.得到等差数列中Sn,S2n?Sn,S3n?S2n,??仍成等差数列.数列的求和也是分解策略的典型应用.等差数列的求和公式是以高斯解决1+2+3+??+100的问题引入，指出与首尾等距离的两项和相等的性质，将等差数列重组，利用倒序相加得出结果.而分组求和法，裂项相消法和错位相减法都是将数列的各项分解并重新组合得出结果的.非常巧妙.不禁让人感叹数学的魅力.相信学生也会为之叹服. 4.4.6必修4三角函数
三角函数化简一直是学生不易掌握的问题.因为化简无定法.没有固定模式可循.要根据表达式的不同形式和特点恰当地选择方法.分解与组合会给学生提供一种有效的分析策略.将待化简的表达式重组，抓住问题的关键点，找出解决的突破口.
通过分解将未知问题转化为已知问题.如教材必修四§1.3例3证明
3π
sin ?α =?cosα
2学生已经掌握
π
sin ?α ,sin π?α
23ππ
的诱导公式，本题只须将分解为π+即可.所以
22
3πππsin ?α =sin π+ ?α =?sin ?α =?cosα
22228
