?n?nD??Xi???DXi?2??Cov?Xi,Xj?;但在计算和的期望时，却不需要考虑其独立与否.
1?i?j?n?i?1?i?1综例4.4.12 设随机变量X的概率密度为 f（1） 求EX和DX;
（2） 求X与X的协方差，并问X与X是否不相关？ （3） 问X与X是否独立？为什么？
（1993年考研题）
【解】 由于X的密度函数f?x??（1）
???x??1?x ?e, ? ??x??21?xe, ???x???是一偶函数.从而有 2EX????xf?x?dx?0,2DX?EX2??EX??EX2??
?1?x22xfxdx?2x?edx????2????X??EXE?X?,而
?? ?2.（2）由于CovX,X???E?X????E?XX??故 CovX,?xxf?x?dx??????xx1?xedx?0 2?X,X与X不相关. ??0可见
（3） 给定的0?a???，显然事件X?a包含在事件?X?a?内，且 P?X?a??1,PX?a?0, 故 PX?a,X?a?PX?a. 但 P?X?a?P??????????X??a??P?X?a?.
?从而 PX?a,X?a?P?X?a?PX?a,
因此， X与X不独立. 【解毕】
【技巧】 本题考查随机变量的独立性与不相关这两个不同的概念.独立性的判别是本题的难点，然而，
???如果从随机变量独立性的直观意义去理解，由于X与X的取值是有关联的，因此他们不会相互独立.严格的数学论述则是基于独立性的定义，即X与Y相互独立的充要条件是对任给的两个数，都有
P?X?x,Y?y??P?X?x?P?Y?y?
因此，如果存在两个数x0,y0，使
P?X?x0,Y?y0??P?X?x0?P?Y?y0?
则说明X与Y不独立，在本例中，对于X与，存在x0?a,y0?a,使
P?X?a,Y?a??P?X?a?P?Y?a?
所以，说明X与X不独立.注意，在本例中，希望大家不要从X与X的联合密度的角度去证明其不独立性，因这种方法在本题中将带来繁琐的计算. 综例4.4.13 设二维随机变量?X,Y?的密度函数为
f?x,y??1?1?x,y???2?x,y??, ???2其中?1?x,y?和?2?x,y?都是二维正态密度函数，且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为1/3和-1/3，他们的边缘密度函数对应的随机变量的数学期望均为0，方差均为1.
（1） 求随机变量X和Y的密度函数f1?x?和f2?y?，及X和Y的相关系数?（可以直接利用二维正态密度的性质）；
（2） 问X和Y是否独立？为什么？
（2000年考研题） 【思路】 利用二维正态分布的定义和性质去计算.
【解】 （1）由于二维正态密度函数的两个边缘密度都是正态密度函数，因此，?1?x,y?和?2?x,y?的两个边缘密度为标准正态密度函数.故
f1?x????????????1?f?x,y?dy????1?x,y?dy???2?x,y?dy?2??????221?1?x21?x2e?e ??2?2??2?1?x2 ?e2?2????
