?2x0?x?2x?y022x?y0?4x?0)
22?2d2?2d2?4d2?0
故x0?y0?0，即x0?y0.证明。
我们通常也称此定理为变分引理。由于子空间一定是凸集，并注意定理的证明过程，则定理条件改为M是内积空间X中完备的子空间时，定理结论仍成立。
【定理 2.3】（投影定理） 设M是内积空间X的完备线性子空间，则任意
x?X，必在M中惟一存在投影。即必惟一存在x0?M,z?M?，使x?x0?z.
证明：由题设，依据极小化向量定理，x在M中存在最佳逼近元x0，记为
d?x?x0?infx?y
y?M任取复数?,y?M，则x0??y?M，且有
d2?x?(x0??y)?(x?x0)??y,(x?x0)??y ?x?x022??x?x0,y??y,x?x0??2y
2当y??时，取??(x?x0,y)y2代入上式，得
(x?x0,y)y22d?d?22
于是推得x?x0,y?0，再注意y??，此式也成立，因而x?x0?M?.令
z?x?x0，即有x?x0?z.投影的存在性得证。
投影的惟一性已由定义2.3的注得证。证毕。
注：（1）X为hilbert空间时，则对任闭集子空间M?X投影定理成立。
（2）表达式x?x0?z也常称为元素x的直交分解，故投影定理也叫做直
交分解定理，是R2中向量的直交分解的推广。由于在一般赋范线性空间中没有直交概念，因此不能讨论直交分解的问题。
（3）对于hilbert空间X及子闭空间M，在投影定理条件下有
X?M?M?
即X表示为两个直交子空间的直和，常称X为M与M?的直交和，或直交分解。
投影定理在内积空间理论中是极为重要的基本定理。由于投影x0?M，就是元素x?X在子空间M中的最佳逼近元，因此在现代逼近论，概率论以及控制论中许多问题都可以抽象为如下的数学问题。
设X是内积空间，且x,x1,x2,?,xn?X，问是否存在n个数?1，?2，?,?n，使得
x???ixi?infx?y，其中M?span{x1,x2,?,xn}.并且一般假设x,x1,x2,?,xni?1y?Mn线性无关。
由于M是一个n维赋范线性空间，故M完备，则由投影定理，对于x?X，必惟一存在x0???ixi?M，使x?x0?infx?y.
i?1ny?M现在我们给出求解x0的方法，因xi?M,1?i?n，则由投影定理，我们有
x???ixi,xk?0,(1?k?n)
i?1n即得线性方程组
??i?1nixi,xk?x,xk,(1?k?n)
记其系数行列式为?n.因为方程组已知有惟一解，故?n?0，并且可计算出
?i,1?i?n.
最后，我们再给出投影定理的两个推论。
【推论 2.1】 设M是Hilbert内积空间X的真闭线性子空间，则M?中必有非零元素。
证明：由题设M?X，则存在x?X?M.由投影定理得知，存在x0?M，
x?M?，使得x?x0?z，于是必z??，否则x?x0?M，与之矛盾。证毕。
【推论 2.2】 设M是Hilbert内积空间X的真闭线性子空间，则M?(M?)?.特别当M??{?}，则M在X中稠密。
证明：由性质（8），(M?)?是X中真闭线性子空间，因X完备，则(M?)?完备。显然，有M?(M?)?，于是M?(M?)?。同样得知M也完备。如果M?(M?)?，于是关于M?(M?)?，应用推论4.1，存在非零元素x?(M?)?，且x?(M?)??M?，故x,x?0，从而x??，矛盾。从而必有M?(M?)?，证毕。
返照R2中情况，在内积空间引入直角坐标系的概念。
【定义2.5】 设M是内积空间中一个不含零元的子集，若M中任意两个不同元素都直交，则称M为X的一个直交系。又若M中每个元素的范数都是1，则称M为标准直交系。
注：为了简单起见，我们仅讨论至多含可列个元素的直交系，因为对不可列情况，在方法上同可列情况并无本质的区别。
例 2.4 在（实或复）Euclid空间Fn中
e1?(1,0,0,?,0),e2?(0,1,0,?,0),?,en?(0,0,0,?,0,1)
是一个标准直交系。
例 2.5 在内积空间l2，以下元素列是一个标准直交系
en?(0,?,1,0,?)
其第n个分量是1，其余分量都是0，n?1,2,?.
X中一个标准直交系，对任x?X，称【定义2.6】 设{en}?n?1是内积空间
cn?x,en为元素x关于en的Fourier系数，常简称为x的Fourier系数。于是有
Fourier级数。 形式级数?cnen，称为元素x关于{en}?n?1可以展开为
n?1?注：一般情况下，Fourier级数不一定收敛。即或收敛，也不一定收敛于x.在什么条件下元素x可以展开为Fourier级数的问题自然是重要的。
X中一个标准直交系，记 【定理2.4】 设{en}?n?1是内积空间
Xn?span{e1,e2,?,en}
对任意给定x?X，则x在Xn上的投影是sn??ckek，即sn是在Xn内的最佳逼
k?1n近元。
?证明：因x?sn?(x?sn)，由于sn?Xn，则只须证明x?sn?Xn.由4.2性质
（9），又仅须证x?sn?en,k?1,2,?,n.于是由x?sn,ek?x,ek?知结论成立。证毕。
注：任意??kek?Xn，任x?X，成立
k?1n?ce,eiii?1nk?0，
x?sn?x???kek
k?1nX中一个标准直交系，【定理2.5】（Bessel不等式） 设{en}?n?1是内积空间
则对任意x?X，成立Bessel不等式
?cn?x
n?1?22其中，cn?x,en,n?1,2,?.
证明：已知sn?(x?sn)，其中sn??ckek，则由勾股定理得
k?1nxn2?sn22?x?snn2?sn
2??ckekk?1??ckekk?12??ck
k?1n2令n??，得结论成立。证毕。
注：Bessel不等式指元素x在每个en上投影cnen的范数的平方和不大于x的范数；由此知?cn为收敛级数，于是推得事实
n?1?2limcn?0
n??
