【引理 2.1】（Schwaraz不等式） 设X为内积空间，对任意x，y?X，成立不等式
x,y?x,x?y,y 证明：若y??，则任x?X，有x,??0，则显然不等式成立。现在设y??，则???F，有
0?x??y,x??y?x,x??x,y??y,x??2y,y
取???x,yy,y代入上式可得x,x?x,y?x,yy,y2?0，由此可得
y,y x,x?证毕。
【定理 2.1】 设X为内积空间，对任x?X，令x?范数。
证明：因范数的前两条性质可直接由内积的性质推出，我们仅验证它满足第三条性质（即三角不等式）。事实上
x?y?x?y,x?y?x,x?x,y?y,x?y,y
?x?2x?y?y222x,x，则x是x的
?(x?y)2
故有x?y?x?y.证毕。 注：常称x?x,x为内积导出的范数，于是内积空间按此范数成为一个赋范线性空间。在此意义下，关于赋范线性空间的有关内容都适用于内积空间。特别当内积空间X按由内积导出的范数完备的，称X为Hilbert空间。 例 2.1Fn表示（实或复）Euclid空间，对于x?(t1,t2,?,tn)，
y?(s1,s2,?,sn)?Fn，类似于几何空间R3中向量的内积定义，令
x,y??tn?sn
k?1n不难验证Fn成为一个Euclid空间。
第二节 Hilbert空间中线性算子和规范正交系等定理
2.1内积空间中元素的直交与直交分解
仿照R2中两个向量的直交概念，我们有如下定义。
【定义 2.2】 设X是内积空间，x,y?X，若x,y?0，称x与y直交，记为x?y.设x?X,M?X，若x与M每个元素直交时，则称x与M直交，记为
x?M.又N?X，若x?M,y?N，都有x?y，则称M与N直交，记为N?M.
设M?X，记M??{x?X:x?M},则称M?为M的直交补。
由以上定义，可得如下简明事实（性质）： （1） 零元素?与X中每个元素x直交。 （2） 若x?y，则y?x. （3） x?M?x??.
（4） 若M?N?X，则N??M?.
（5） 任M?X，若??M，则M?M???；若??M，则M?M??{?}. 此外我们还有一下几条有用性质：
（6） 若xn?x(n??)，且xn?y，则x?y. 这是因为x,y?limxn,y?0.
n??（7） 若x,y?X，且x?y，则成立勾股公式x?y?x?y?x?y. 这个性质留给读者自己验证。
（8） 对任M?X，则M?是X的闭子空间。
事实上，任意x1,x2?M?，则对每个y?M，有x1?y，x2?y，于是有
2222x1?x2,y?x1,y?x2,y?0，故x1?x2?M?；又任意x?M?，??F，则任意
y?M，有?x,y??x,y?0，故?x?M?，因此M?成为X的线性子空间。现
在证明M?是闭集。若(M?)???，则M?为闭集，当(M?)???，任取x?(M?)?，
则存在xn?M?，有limxn?x.对任意y?M，应用事实（6），有
n??x,y?limxn,y?0
n??则x?y，于是推得x?M，即x?M?，因此M?为闭集。证毕。
（9） 设M?X为非空集，则(spanM)?M?.
事实上，因M?(spanM)，则(spanM)?M?.另外，对任意x?M?，任意
取y?(spanM)?(spanM)?(spanM)?，若y?(spanM)，则y是M中有限个元素
??x1,x2,?xn的线性组合，即
y???ixi(?i?F,1?i?n)
i?1n于是y,x???ixi,x?0，即x?y.
i?1n而当y?(spanM)?，则存在元素yn?spanM，有limyn?y，由以上证明知
n??于是由性质（6）得知y?x.综上所说，x?(spanM)，故M??(spanM).yn?x，证毕。
仿照R2中向量在坐标轴上投影的概念引入以下定义。
【定义 2.3】 设M是内积空间的一个线性子空间，x?X，若存在x0?M，
z?M?，使成立x?x0?z，则称x0为x在M上的直交投影（可简称为投影）。
??注：一般情况，某个元素x在X的某个空间M上不一定存在投影。但当投影存在时，则可证明投影的惟一性。因为若x0及x1都是x在M上的投影，则由定义有z?x?x0，z1?x?x1?M?，于是x0?x?z1?z?M?M??{?}，故x0?x1.
对于R2，任向量x?(t1,t2)在x轴（即子空间M?{(t,0):t?R}）上有投影为
x0?(t1,0).并且知道点x?(t1,t2)到x轴上每个点的距离最小者为x?x0?t2.这种现象如何在一般的（特别是无限维）内积空间中表现是个需要探讨的问题。为此，我们首先给出重要概念。
x?X，M是X中非空子集，【定义 2.4】 设X是度量空间，则称inf?(x,y)y?M为x到集M的距离，记为?(x,M).若存在某x0?M，使?(x,x0)??(x,M)，则称
x0为x在M中最佳逼近元。
注：一般情况下，某元x?X，在某集M?X中不一定存在最佳逼近元。并且在最佳逼近元存在时也不一定惟一。因此，最佳逼近元的存在性及惟一性成为逼近理论中一个主要研究方向。
在此我们仅介绍一个在微分方程，现代控制论等学科都有重要应用的基本结果。
【定理 2.2】（极小化向量定理） 设M是Hilbert空间X中的凸闭集，则任意x?X，必有M中惟一存在最佳逼近元。
证明：令d?infy?Mimxn?x?d.因M是x?y??(,xM)，则存在xn?M，使ln??11凸集，则(xn?xm)?M，于是必有x?(xn?xm)?d.
22在中线公式中以xn?x代换x，以x?xm代换y，则有
xn?xm2?(xn?x)?(x?xm) ?2xn?x?2x?xm222?xn?xm?2x
2?2xn?x?2x?xm?2xn?x?2x?xm2221?4x?(xn?xm)
222?4d2?0(n,m??)
n??il因此xn是完备内积空间X中Cauchy列，则存在x0?X，使mxn?x0.因M是
闭集，则x0?M，并且有
d?limxn?x?x0?x
n??这证明了最佳逼近元的存在性。
现在证明惟一性。设y0?M也是x的最佳逼近元。还是由中线公式得
0?x0?y02?(x0?x)?(x?y0)
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