Y.P.M数学竞赛讲座 1
主元法解题例说
1.确定主元
[例1]:(2008年安徽高考试题)若不等式ax2-3x+a+1>x2-x-a+1对任意a∈(0,+∞)都成立,则实数x的取值范围是 . [解析]:ax2-3x+a+1>x2-x-a+1?(x2+2)a-(x2+2x)>0(关于a的一次函数,且斜率k=x2+2>0)?x2+2x≤0?x∈[-2,0].
[评注]:主元分析法足于如下的基本认识:认清不等式F(x,a,b)≥0是关于哪个变量恒成立？关于哪个变量恒成立,就要把F(x,a,b)视为这个变量的函数,通过研究这个函数来解决问题.
[类题]:
1.若不等式x2-(a+1)x-a2>0对任意a∈(1,2)都成立,则实数x的取值范围是 .
2.选定主元
[例2]:(2009年天津高考试题)若对任意的a∈[,2],不等式x++b≤10在[,1]上恒成立,则实数b的取值范围
是 .
12ax14[解析]:令f(a)=a+(x+b)(x>0),则f(a)在[,2]上单调递增?fmax(a)=f(2)=+x+b,故对任意的a∈[,2],不等
式x+g(x)=
a12121+b≤10在[,1]上恒成立?不等式+x+b≤10在[,1]上恒成立?+x≤10-b在[,1]上恒成立?(令x4x4x4211177+x?gmax(x)=g()=8+)8+≤10-b?b≤.所以,实数b的取值范围是(-∞,]. x444441x122x12[评注]:主元分析法足于如下的基本认识:认清不等式F(x,a,b)≥0是关于哪个变量恒成立？关于哪个变量恒成立,就要把F(x,a,b)视为这个变量的函数,通过研究这个函数来解决问题. [评注]:
1.设函数f(x)=ax2+x-a定义在区间[-1,1]上,若|a|≤1.则f(x)的值域是 . 125412[解析]:令g(a)=(x2-1)a+x,x2-1≤0?gmin(a)=g(1)=x2+x-1∈[g(-),g(1)]=[-,1];gmax(a)=g(-1)=-x2+x+1∈[g(-1),g()]=
[-1,
555]?f(x)的值域是[-,]. 4442.(2009年天津高考试题)若对任意的a∈[-2,2],不等式x4+ax3+2x2+b≤1在[-1,1]上恒成立,则实数b的取值范围是 . 3.变换主元
[例3]:(2006年上海交通大学自主招生试题)设k≥9,解方程:x3+2kx+k2x+9k+27=0.
[解析]:x3+2kx2+k2x+9k+27=0?xk2+(2x2+9)k+x3+27=0,△=(2x2+9)2-4x(x3+27)=(6x-9)2?k=?(2x(3?k)?(k?9)(k?3)x2?3x?92
-x-3,或k=-. ?x=-k-3,或x+(k-3)x+9=0?x=-k-3,或x=
2x2?9)?(6x?9)?k=
2x[评注]: [类题]:
1.已知关于x的方程x-ax-2ax+a-1=0有且只有一个实根.则实数a的取值范围是 .
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2
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4.两个主元
[例4]:(2011年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知a,b∈R,关于x的方程x4+ax3+2x2+bx+1=0有一个实根.求a2+b2
的最小值.
[解析]:x4+ax3+2x2+bx+1=0?x3a+xb+(x4+2x2+1)=0(视为a,b关于的直线l,直线l上的P(a,b)满足:|OP|≥d,其中d是点O
到直线l的距离)?a2?b2≥
|x4?2x2?1|x6?x2=
x4?1?2x2|x|x4?1=
2|x|x4?1+≥22?a2+b2≥8(当且仅当x=?1,a+b=
4|x|x?1?4,a2+b2=8?a=b=?2). [评注]:
[类题]:
1.已知a,b∈R,关于x的方程x+ax+b+2=0有实根.则a+b的最小值= .
2
2
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