图乘法求挠曲线方程
朱品武（武汉船舶职业技术学院 430050）
摘要 在设计桥梁、屋梁等结构式，常常要计算梁的最大挠度，而通过积分求平面弯曲梁的
挠曲线方程是比较繁琐的。当集中力、集中力偶或均布载荷作用于平面弯曲梁时，可以用图乘法计算梁的挠曲线方程，从而避开积分过程。
关键词 挠曲线 积分 单位力 图乘法
一 引言
d2yM{x)?M?x??对于挠曲线近似微分方程 ，通过不定?y?dx?dx?C1x?C2??2?EIdx?EI?可以求得平面弯曲梁的挠曲线方程。在积分过程中，要结合边界条件和连续性条件确定积分常数C1和C2，往往会出现冗长的理论推演和繁琐的数字运算。这样，既不实用也不利于提高初学者的学习兴趣。
应用虚功原理的单位力法，通过定积分也可以求得平面弯曲梁的挠度。单位力法计算平面弯曲梁的线位移的公式
【1】
是??MMPds，其中，MP为真实载荷作用下的梁的弯??EIeL矩方程，M为单位广义力作用下梁的弯矩方程，L为梁的长度。同样需要积分。
二 图乘法计算梁的挠曲线方程的原理 对于??MMPds，在一定的条件下可以用图乘法代替积分计算位移。 ??EIeL【2】
图乘法计算位移的前提条件为：①杆件为等截面直杆，也即EI是常数；②被积函数
中至少有一个是一次函数，所对应的弯矩图为直线图形。
平面弯曲梁的位移图乘法计算位移的公式是??Ayo?EI，其中，A为曲线(或直线)
弯矩图形的面积（如图3），yo为曲线(或直线)弯矩图形面积形心对应的另一直线弯矩图形的竖标（如图5）。
图乘法求位移时需注意的问题：①A与yo在杆轴线同侧时A?yo为正，反之为负；②yo必须取自直线图形；③如果整根杆件不符合图乘法条件，但经过分段后可以使其符合图乘条件，则仍可应用图乘法分段计算；④?＞0时，挠度与单位力同向；?＜0时，挠度与单位力反向。
当集中力、集中力偶作用于平面弯曲梁时，弯矩图是直线图形。当均布载荷作用于平面弯曲梁时，弯矩图是二次抛物线图形。在单位力法中，为了求线位移，作用于平面弯曲梁的单位广义力是集中力P?1；为了求角位移，作用于平面弯曲梁的虚拟单位广义力是集中力偶M?1。因此，不论MP图是直线图形还是曲线图形，M图总是直线图形。显然，当集
中力、集中力偶或均布载荷作用于平面弯曲梁时，应用图乘法计算平面弯曲梁的线位移的前提条件是满足的。
推而广之，当MP图、M图是连续的或者分段连续时，用图乘法求出某梁段上任意截面的线位移就是该梁段的挠曲线方程了。
图1给出了标准二次抛物线的面积公式和形心C位置。图中所谓顶点，是指图形中该点的切线与“基线”平行或重合的点。
? C
L2 L2 顶点
? C 顶点 H H H ?C顶点
5L3L 88L 43L 4A?2HL3
A?2HL3
A?HL3 (c) 二次抛物线 (b)二次抛物线 (a) 对称二次抛物线
图 1 标准二次抛物线图形的面积公式和形心位置
三 算例
等截面悬臂梁如图2所示，已知均布载荷q,抗弯刚度EI?常数。求梁的挠曲线方程。 解：⑴ 绘制梁AB在均布载荷q作用下的弯矩图（即MP图），如图3所示，弯矩方程
12q?x?l?，其中，0＜x≤l。 2⑵ 为了求梁的挠曲线方程，在梁AB上任意选取横截面k?k（到左端的距离为
，在k?k截面加一单位集中力P?1，如图4所示。 x）
为MP??⑶ 绘制梁AB在单位集中力P?1作用下的弯矩图（即M图），如图5所示，设
某横截面到左端的距离为?，当0＜?≤x时，横截面上的弯矩为
M??(x??)；当x≤?≤l时，M?0。
⑷ 计算图3中阴影部分的面积A、形心C的位置xC以及xC在图5中所对应的竖
标yo。
1ql21?x?l?qxx2?3lx?3l2?l????l?x?? A??
323262??ql3lq?l?x?l?3x???x3x2?8lx?6l26464 xC? ?2222qxx?3lx?3l4x?3lx?3l63??????q xx2?4lx?6l2 yo?x?xC?
4x2?3lx?3l2于是，k?k截面的挠度为
????A B
Ayoqx2x2?4lx?6l2 ????EI24EI因此，平面弯曲梁AB的挠曲线方程为
??l MP 图 2
qx2x2?4lx?6l2。 y?24EI
四 结语
应用图乘法求平面弯曲梁的挠曲线方程的方法 非常简单。显然，这种方法用于判断诸如桥梁、屋 梁等结构的最大挠度位置并计算最大挠度既简单又 实用。
参考文献
1单辉祖。《材料力学》（Ⅱ）。北京：高等教育出版社，1999，第1版 2王焕定。《结构力学》。北京：清华大学出版社，2004，第1版。
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