题组层级快练(三十三)
1．若(x＋i)2是纯虚数(其中i为虚数单位)，则x＝( ) A．±1 C．－1 答案 A
解析 (x＋i)2＝x2－1＋2xi，因为(x＋i)2是纯虚数，所以x＝±1. 2．(2014·湖北)i为虚数单位，?A．－1 C．－i 答案 A
B．2 D．1
?1－i?2＝( )
??1＋i?
B．1 D．i
?1－i?2＝－2i＝－1，选A. 解析 ??2i?1＋i?
3．(2014·辽宁)设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝( ) A．2＋3i C．3＋2i 答案 A
5?2＋i?5解析 利用方程思想求解复数并化简．由(z－2i)(2－i)＝5，得z＝2i＋＝2i＋＝2i＋2＋
2－i?2－i??2＋i?i＝2＋3i.
4．(2015·皖北协作区联考)已知集合A＝{1,2z2，zi}，B＝{2,4}，i为虚数单位，若A∩B＝{2}，则纯虚数z为( )
A．i C．2i 答案 D
解析 ∵A∩B＝{2}，且z为纯虚数，∴zi＝2，∴z＝－2i，故选D.
－－－
5．(2014·江西理)z是z的共轭复数，若z＋z＝2，(z－z)i＝2(i为虚数单位)，则z＝( ) A．1＋i C．－1＋i 答案 D
z6．(2014·安徽理)设i是虚数单位，z表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i·z＝( )
iA．－2 C．2 答案 C
B．－2i D．2i B．－1－i D．1－i B．－i D．－2i B．2－3i D．3－2i
z
解析 先根据z求出z及，结合复数的运算法则求解．
iz1＋i－i＋i
∵z＝1＋i，∴z＝1－i，＝＝＝1－i.
iiiz
∴＋i·z＝1－i＋i(1－i)＝(1－i)(1＋i)＝2.故选C. i
2－bi
7．若复数(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b等于( )
1＋2iA.2 2C．－
3答案 C 解析
2－bi?2－bi??1－2i?2－2b－?4＋b?i
＝＝，
51＋2i?1＋2i??1－2i?
2
B. 3D．2
2
2－2b4＋b2
由题意得－＝0，得b＝－.
553
8．在复平面内，复数z＝cos3＋isin3(i是虚数单位)对应的点位于( ) A．第一象限 C．第三象限 答案 B
π
解析 因为<3<π，所以cos3<0，sin3>0，故点(cos3，sin3)在第二象限，即复数z＝cos3＋isin3对应的
2点位于第二象限．
z
9．(2015·吉林普通高中期末联考)设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，若＝2－i成立，则点P(a，b)在( )
1＋iA．第一象限 C．第三象限 答案 A
解析 z＝(2－i)(1＋i)＝3＋i，对应的点在第一象限．
?tanθ－3?i－1π
10．已知复数z＝，则“θ＝”是“z是纯虚数”的( )
i3A．充要条件 C．充分不必要条件 答案 C
ππ
解析 当θ＝时，z是纯虚数；反之不成立．故“θ＝”是“z是纯虚数”的充分不必要条件．
3311.(2015·湖北黄冈期末)复数z1，z2在复平面内分别对应点A，B，z1＝3＋4i，将点A绕原点O逆时针－
旋转90°得到点B，则z2＝( )
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 B．第二象限 D．第四象限 B．第二象限 D．第四象限
A．3－4i C．－4＋3i 答案 B
－
解析 由题意知A(3,4)，B(－4,3)，即z2＝－4＋3i，z2＝－4－3i.
12．(2015·湖北武汉调研)复数m(3＋i)－(2＋i)(m∈R，i为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于( )
A．第一象限 C．第三象限 答案 B
解析 因为m(3＋i)－(2＋i)＝(3m－2)＋(m－1)i，设复数m(3＋i)－(2＋i)所对应的点为(x，y)，则
??x＝3m－2，?消去m，得x－3y－1＝0. ?y＝m－1.?
B．－4－3i D．－3－4i
B．第二象限 D．第四象限
因为直线x－3y－1＝0经过第一、三、四象限，所以复数在复平面内对应的点不可能位于第二象限，故选B.
13．i＋i2＋i3＋?＋i2 015的值是________． 答案 －1
i?1－i2 015?i?1－i3?i?1＋i?
解析 原式＝＝＝＝i·i＝－1.
1－i1－i1－i
→→→
14．在复平面内，复数1＋i与－1＋3i分别对应向量OA和OB，其中O为坐标原点，则|AB|＝________. 答案 22
解析 由题意知A(1,1)，B(－1,3)， →
故|AB|＝?－1－1?2＋?3－1?2＝22.
a＋2i
15．(2015·山东青岛一模)已知＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝________.
i答案 1
a＋2i
解析 因为＝b＋i，所以2－ai＝b＋i.由复数相等的充要条件得b＝2，a＝－1，故a＋b＝1.
i16．(2015·福建厦门质检)若复数z满足(1＋2i)z＝|3＋4i|(i为虚数单位)，则复数z等于________． 答案 1－2i
解析 ∵(1＋2i)z＝|3＋4i|＝5， 5?1－2i?5∴z＝＝＝1－2i.
1＋2i?1＋2i??1－2i?
22 0141＋i6
17．i是虚数单位，()＋()＝________.
1－i1－i答案 －1－i
221 0071＋i621 00761 00764×251＋34＋232
解析 原式＝[()]＋()＝()＋i＝i＋i＝i＋i＝i＋i＝－1－i.
1－i1－i－2i
→→→
18．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别为A，B，C，若OC＝xOA＋yOB，求x＋y的值．
答案 5
→→→??－x＋y＝3，解析 由OC＝xOA＋yOB，得(3－2i)＝x(－1＋2i)＋y(1－i)＝(－x＋y)＋(2x－y)i，∴?解
?2x－y＝－2.?
??x＝1，
得?故x＋y＝5. ?y＝4，?
1．(2014·广东文)对任意复数ω1，ω2，定义ω1]2，其中ω2是ω2的共轭复数，对任意复数z1，z2，z3
有如下四个命题：
①(z1＋z2)*z3＝(z1]( ) A．1 C．3 答案 B
解析 先理解透新定义，再结合复数的运算性质求解．
由题意得(z1＋z2)*z3＝(z1＋z2)z3＝z1 z3＋z2 z3＝z1])＝z1 z2＋z1z3＝(z1] z3，而z1]，故③错误；z1]，而z2]，故④不正确，故选B.
2．(2014·江苏)已知复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为________． 答案 21
解析 复数z＝ (5＋2i)2＝21＋20i，其实部是21.
3．(2014·山东文)已知a，b∈R，i是虚数单位．若a＋i＝2－bi，则(a＋bi)2＝( ) A．3－4i C．4－3i 答案 A
解析 由a＋i＝2－bi，可得a＝2，b＝－1，则(a＋bi)2＝(2－i)2＝3－4i.
4．对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是( ) A．|z－z|＝2y C．|z－z|≥2x
B．z2＝x2＋y2 D．|z|≤|x|＋|y| B．3＋4i D．4＋3i B．2 D．4
答案 D
解析 |z|＝x2＋y2≤x2＋2|xy|＋y2＝?|x|＋|y|?2＝|x|＋|y|，D正确，易知A，B，C错误．
