高考中的抽象函数题归类分析
1. 抽象函数的定义域
例1 （江西文.（3））．若函数y?f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)?是（ ）
A．[0,1] B．[0,1) C． [0,1)f(2x)的定义域x?1(1,4] D．(0,1)
解析：因为f(x)的定义域为[0，2]，所以对g(x)，0?2x?2但x?1故x?[0,1)。选B 点评 本题着意考查抽象函数的定义域。解题的关键是抽象函数的复合过程。 2. 抽象函数的值域
例2 (江西理.(3)) 若函数y?f(x)的值域是?,3?，则函数F?x??f?x??的值
2f(x)??域是（ ） A．[
?1?111051010，3] B．[2，] C．[，] D．[3，] 232331111?f(x)?3,???2.由基本不等式知f(x)??2,由勾勾函数知23f(x)f(x)11510,当f(x)=时，F时，F，（x）=，当f(x)=3（x）=f(x)223解析：
F（x）=f(x)??F（x）max=10,选B 3点评 本题着意考查抽象函数值域求法，这里勾勾函数的适用范围要比均值定理广泛。 3. 抽象函数的函数值
例3 （陕西理.（11））定义在R上的函数f(x)满足f(x?y)?f(x)?f(y)?2xy1(2?，则f(?3)等于（ ） （x，y?R），f)A．2
B．3
C．6
D．9
解析：f(?3)?f(?1)?f(?2)?4,只需求出f(?1)即可，又f(1)=2，故
f(?1+1?)f?(?1f)?(f(0)=f(?1)，令x?y?0，可得f(0)=，于0是即
(
f(?1)=，0f?(2f)?=2(1?)+f2?=2.例4 （陕西文.（11））定义在R上的函数f(x)满足f(x?y)?f(x)?f(y)?2xy1(2?，则f(?2)等于（ A ） （x，y?R），f)A．2
B．3
C．6
D．9
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例5 （山东文.（4））给出命题：若函数y?f(x)是幂函数，则函数y?f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（ C ） A．3 B．2 C．1 D．0 点评 陕西两个题目着意考查抽象函数的有关运算和性质。考查如何将?3或（?2）分解是解题的关键，山东题考查幂函数的图像及性质，则f(x)?x。体现了函数性质的综合应用及四种命题的关系，逆命题与否命题、原命题与逆否命题等价。 4. 抽象函数的反函数
例6 （湖南理.(13）)设函数y?f(x)存在反函数y?f(x),且函数y?x?f(x)的图象过点(1,2)，则函数y?f(x)?x的图象一定过点 (-1,2) . 解析：
-1-1a?y?f-1(x)过点y?x?f(x)过点(1,2)，?2?1?f(1)，即f(1)??1，y+x?f?1(x)可知y?1?f?1?(1，)?=y1=2.即
(1，?1).?f-1(?1)?1.由y?f-1(x)?x过点(-1,2)
点评 本题考查了原函数与反函数的关系及运算，解题的关键是充分把握与理解
y?f(x)所过的定点，然后加以转化运用，此是解题的技巧所在。
5. 抽象函数的单调性
??)上为增函数，且f(1)?0，则不等式例7 （全国Ⅰ理.9 ）设奇函数f(x)在(0，f(x)?f(?x)?0的解集为（ ）
x，0)A．(?1(1，??) (1，??)
?1)B．(??，，0)D．(?1(01)，
?1)C．(??，(01)，
?，
解析：由奇函数f(x)可知
f(x)?f(?x)2f(x)1(0?，)1?)1?(0f而f)则f(???0，
xx??)上为当x?0时，f(x)?0?f(1)；当x?0时，f(x)?0?f(?1)，又f(x)在(0，增函数，则奇函数f(x)在(??,0)上为增函数，0?x?1,或?1?x?0 故选D 6. 抽象函数的周期性
例8 （四川理.(11)）（文.(9)）定义在R上的函数f(x)满足：f(x)?f(x?2)?13，f(1)?2，则f(99)?（ ）
（A）13
（B）2
（C）
13 2 （D）
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解析：由f(x)?f(x?2)?13，知f(x?2)?f(x?4)?13，所以f(x?4)?f(x)，即f(x)是周期函数，周期为4．所以f(99)?f(3?4?24)?f(3)?13?13．选C．
f(1)2点评 本题着意考查抽象函数的性质．赋值、迭代、构造是解抽象函数问题不可或缺的三招．本题看似艰深，实为抽象函数问题中的常规题型 7. 抽象函数图像与其导函数图像的整合 例9 （福建文（.11）） 如果函数y=f(x)的图象如右图，那么导函数y=f(x)的图象可能是（ A ）
解析：由函数的图像可知单调性为增、减、增、减，故导函数的图像呈正、负、正、负 例10 （福建·理(12)）已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是（ D ）
解析：从两函数的斜率入手，其易错点为导函数图像有交点误认为函数图像有公共点，从而误选A。
点评 两题着意考查抽象函数的单调性与导函数图像的关系，考查学生识图用图的能力，对导函数的图像变化，导数的几何意义，认识是部分学生的易错点。 8. 抽象函数的奇偶性与单调性的整合
例11 (安徽理．（11））若函数f(x),g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，且满足
f(x)?g(x)?ex，则有（ ）
A．f(2)?f(3)?g(0) C．f(2)?g(0)?f(3)
B．g(0)?f(3)?f(2) D．g(0)?f(2)?f(3)
解析：函数f(x),g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，有f(?x)=?f(x),g(?x)?g(x).
?x又知f(x)?g(x)?e，有f(?x)?g(?x)?e，即?f(x)?g(x)?e.
x?xex+e?xex?e?xe2?e?2?g(x)??，f(x)=，f(2)=，则g(0)=?1，
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ex+e?xe3?e?3、f(3)=，f(x)=>0，f?x?是R上的偶函数，?g(0)?f(2)?f(3)，选D
22例12 (天津理.（9）) 已知函数f?x?是R上的偶函数，且在区间?0,???上是增函数.令
2??5??5?????a?f?sin?,b?f?cos?,c?f?tan?，则（ A ）
777??????(A) b?a?c (B) c?b?a (C) b?c?a (D) a?b?c 解析：
5??f?x?是R上的偶函数，所以b?f??cos7?5????ftan??7??5?????fcos???，
7???5??c?f??tan7?5?2?5??，利用单位圆可比较，又f?x?在cos?sin?tan?777?区间?0,???上是增函数，所以b?a?c.
点评 (安徽理．（11））主要考查奇函数、偶函数及比较大小，要理解奇函数、偶函数的定义，在比较f(2)，f(3)大小利用了f?x?的导数，判断单调性这一知识点是高考中常考知识之一；(天津理.（9）) 主要考查用函数的单调性和单位圆比较大小，在利用单位圆比较三角函数值大小，必须明确
2??2??的终边所处位置（
例13 (辽宁理.(12)) 设f(x)是连续的偶函数,且当x?0时f(x)是单调函数,则满足
x?3)的所有x之和为( C ) x?4 A.?3 B.3 C.?8 D.8 f(x)?f(解析：
x?0，f(x)单调,且f(x)是连续的偶函数，?要f(x)=f(x?3x?3①)必有x=x?4x?4x2?3x?3x?3=0,或?x=②。由①得
x?4x?4x2?5x+3=0,x?4x??4,?两根和为?3；由②得
x??4,?两根和为?5。综上所有根之和为?8
点评 本题综合考查了偶函数，单调函数，连续函数，方程的根等性质及知识是一道很好的综合题。关键是正确理解题意把握f(x)?f(x?3)有两种情况。考查了学生分析问题的x?4全面性和灵活性，具有新意和创造性，是高考命题的一个方向，学习中应灵活掌握运用知识，切忌死学。
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