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为?的泊松分布；单服务台、队长无限制、先到先服务；各顾客的服务时间相互独立，且同服从于参数为?的负指数分布．
1、确定系统在任意时刻t的状态为n的概率
因为已知顾客的到达规律服从参数为?的泊松分布，服务时间服从参数为?的负指数分布，于是在时间间隔[t,t??t)(?t为很小的数)内有：
（1）有一个顾客到达的概率为：??t??(?t)； （2）没有一个顾客到达的概率为：1???t??(?t)； （3）有一个顾客被服务完的概率为：??t??(?t)； （4）没有一个顾客被服务完的概率为：1???t??(?t)； （5）多于一个顾客到达或被服务完离去的概率为：?(?t)．
现在考虑在t??t时刻系统中有n个顾客（即系统状态为n）的概率Pn(t??t)，可能的情况如表2.1所示[11]．
表2.1 系统状态为n变化规律
情况 时刻t的 顾客数 在区间(t,t??t) 到达 X X √ 离去 X √ X t??t 的顾客数 Pn(t??t) Pn(t)(1???t)(1???t) Pn?1(t)(1???t)??t Pn?1(t)(??t)(1???t) Pn(t)(??t)(??t) A B n n?1 n?1 n n n n C n √ √ D 以上四种情况是相互独立的事件，则有
Pn(t??t)?Pn(t)(1???t???t)?Pn?1(t)??t?Pn?1(t)??t??(?t)．
移项整理，两边同除以?t，并令?t?0，则得
dPn(t)??Pn?1(t)??Pn?1(t)?(???)Pn(t),n?1,2,dt．
当n?0时，类似地有
dP0(t)???P0(t)??P1(t)． dt于是，一般有
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?dP0(t)???P0(t)??P1(t),??dt ?dP(t)?n??P(t)??P(t)?(???)P(t)(n?1).n?1n?1n??dt第 10 页
假设当t??时，极限存在，即Pn(t)与t无关，记为Pn(t)为Pn，于是有则状态的平衡方程为
dPn(t)?0，dt???P0??P1?0, ???Pn?1??Pn?1?(???)Pn?0(n?1).即
??P0??P1,???Pn?1??Pn?1?(???)Pn(n?1).
这是关于Pn的差分方程，也反映出了系统状态的转移关系，即每一状态都是平衡的，如图2.2所示．
? 0 1 …. ? n?1? ? n ? n?1… ? ? ? ? 图2.2 M/M/1模型的状态转移关系图
n求解状态的平衡方程得P1?()P0，递推可有Pn?()P0(n?1)．
????令?????1，称为服务强度，即为平均到达率与平均服务率之比，由概率的性质???Pn?1有P0??n?n?0n?0P0?1，于是 1????P0?1??,?nP?(1??)???n(n?1).
这就是所求模型M/M/1的系统状态为n的概率． 2、系统的运行指标[12]
（1）队长（系统中的平均顾客数）因为系统的状态为n，即系统中有n个顾客，由期望的定义得
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Ls??nPn??n(1??)?n?n?0n?1??第 11 页
?1???????；
（2）队列长（系统中等待的平均顾客数）
?2??； Lq??(n?1)Pn?Ls????1?????n?1?（3）逗留时间 事实上，系统中的一个顾客的逗留时间W，服从于参数为???的负指数分布，分布函数和分布密度分别为
F(W)?1?e?(???)W 和 f(W)?(???)e?(???)W，
所以有Ws?E(W)?1； ???（4）等待时间 等待时间=逗留时间-被服务的时间，即
Wq?Ws?1??????．
其中
1?表示平均一个顾客的服务时间．
综上所述，排队模型M/M/1的系统主要运行指标为
Ls?????，Lq???1?，Ws?，Wq?． ?????????3、系统运行指标之间的关系
排队模型M/M/1的系统运行指标之间有下面的关系：
Ls??Ws，Lq??Wq，Ws?Wq?1?，Ls?Lq??． ?这些关系式称之为Little公式[13]．事实上，这些关系对于一般的排队模型都成立． 2.4 多服务台的标准模型
M/M/c/?/?表示顾客源为无限的，顾客的到达相互独立，到达规律服从参数为?的泊松分布，各服务台的服务时间满足负指数分布，而各服务台的工作是相互独立的（不搞协作），单个服务台的平均服务率为?，则整个服务机构的平均服务率为c?(当n?c)，或n?(当n?c)，令???，称为系统的服务强度（服务机构的平均利用率），当??1时，c?系统就会出现排队现象，即有顾客在排队等待[14]．
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现在考虑t??t时刻系统中有n个顾客（即系统状态为n）的概率Pn(t??t)，可能的情况如表2.2所示[15]．
表2.2 系统状态为n的变化规律
情况 时刻t的 顾客数 在区间(t,t??t) 到达 X X √ √ 离去 X √ X √ 在时刻t??t 的顾客数 n Pn(t??t) Pn(t)(1???t)(1?c??t) Pn?1(t)(1???t)?c??t Pn?1(t)(??t)(1?c??t) Pn(t)(??t)(c??t) A n n?1 B C D n?1 n n n n 类似的，模型M/M/c的系统状态转移关系图如图2.3所示．
? 0 1 ? … ? n?1 ? n n?1… ? ? n?1 ? n n?1c? … ?? 2? n? (n?1)? (n?c) c? c? c? (n?c) 图2.3 模型M/M/c的系统状态转移关系图
系统状态（稳态）的平衡方程为
??P0??P1,???Pn?1?(n?1)?Pn?1?(??n?)Pn(1?n?c),?c?P??P?(??c?)P(n?c).n?1n?1n?
其中?Pn?1，且??n?0???1．由递推关系可以求得系统状态概率为 c?(n?c);
?1?n()P0?c?1n!?1?k11?c?1?，P0?[?()?()]Pn??k!?c!1???k?0?11(?)nPn?c??0?c!c相应地，系统的运行指标为
(n?c).LqLs?(c?)c?1(c?)c?Ls?Lq?，Ws??P0?，Wq??P0， 22??c!(1??)???c!(1??)?Lq?其中c??n?c?1?(n?c)P??kPnk?1??k?ck(c?)c?k?c??k(c?)P0?P． 20c!(1??)k?1c!c??，k?n?c．?
