数学讲义之不等式
【主干内容】
1．不等式的基本性质：
对称性：a>b?b
可加性：a>b?a+c>b+c； 可乘性：a>b，当c>0时，ac>bc；当c<0时，ac 同向相加：若a>b，c>d，则a+c>b+d； 异向相减：a?b，c?d?a?c?b?d nn正数同向相乘：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd； 乘方法则：若a>b>0，n∈N+，则a?b； 开方法则：若a>b>0，n∈N+，则a?3．基本不等式（或均值不等式）： 利用完全平方式的性质，可得a 2+b 2≥2ab（a，b∈R）， nn11?b；ab 倒数法则：若ab>0，a>b，则 a2?b22该不等式可推广为a 2+b 2≥2|ab|；或变形为|ab|≤； ?a?b???22ab??. 当a，b≥0时，a+b≥或ab≤ 24．不等式的证明： 不等式证明的常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法； 不等式的解法： 解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。 一元二次不等式（组）是解不等式的基础，一元二次不等式是解不等式的基本题型。一元二次不等式与相应的函数，方程的联系 22求一般的一元二次不等式ax?bx?c?0或ax?bx?c?0(a?0)的解集， 22y?ax?bx?c图象确定解集。 ax?bx?c?0要结合的根及二次函数2ax?bx?c?0(a?0)，设??b2?4ac，它的解按照对于一元二次方程 2(a?0)??0，??0，??0可分三种情况.相应二次函数y?ax?bx?c的图象与x轴的位置关系也分为三种情况．因此，我们分三种情况讨论对应的一元二次不等式ax?bx?c?0(a?0)的解集，列表如下: 2 1 5．线性规划问题的解题方法和步骤:解决简单线性规划问题的方法是图解法，即 借助直线（线性目标函数看作斜率确定的一族平行直线）与平面区域（可行域）有交点时，直线在y轴上的截距的最大值或最小值求解。它的步骤如下： ①设出未知数，确定目标函数。 ②确定线性约束条件，并在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域。 az③由目标函数z＝ax＋by变形为y＝－bx＋b,所以求z的最值可看成是求直线azy＝－bx＋b在y轴上截距的最值（其中a、b是常数，z随x，y的变化而变化）。 ④作平行线：将直线ax＋by＝0平移，使直线与可行域有交点，且观察在可行域 z中使b最大（或最小）时所经过的点，求出该点的坐标。 ⑤求出最优解：将④中求出的坐标代入目标函数，从而求出z的最值。 6．绝对值不等式 ①｜x｜＜a（a＞0）的解集为：{x｜－a＜x＜a}； ｜x｜＞a（a＞0）的解集为：{x｜x＞a或x＜－a}。 ②||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b| 2 【题型分类】 题型一：不等关系与不等式 〖例1〗(2007上海)已知a,b为非零实数，且a?b，则下列命题成立的是( ) 11ba??222222ab D．ab A．a?b B．ab?ab C．ab解：取a＝－3，b＝２，由（Ａ）（Ｂ）（Ｄ）都错，故（C）。 〖例2〗若1＜α＜3，－4＜β＜2，则α－|β|的取值范围是 .解： (－3，3) 2 〖例3〗已知a＞b＞c，a＋b＋c＝0，方程ax＋bx＋c＝0的两个实数根为x1、x2． (1)证明：－＜ 12b＜1； a222(2)若x1＋x1x2＋x22＝1，求x1－x1x2＋x2； 2(3)求| x1－x22|． 解：(1)∵a＞b＞c，a＋b＋c＝0，∴3a＞a＋b＋c，a＞b＞－a－b， ∴a＞0，1＞ bb1b??1? ∴－??1 aa2a2 (2)（方法1）∵a＋b＋c＝0 ∴ax＋bx＋c＝0有一根为1， 2?1可得x2(x2?1)?0,不妨设x1＝1，则由x12?x1x2?x2 而x2?x1x2?c22?0(3c?a?b?c?0)，∴x2＝－1，∴x1?x1x2?x2?3 abaca (方法2)∵x1?x2??,x1x2?由 2x12?x1x2?x22b2cb2a?bb2bb2b?(x1?x2)?x1x2?2??2＋?2??1?1，∴2??0, aaaaaaaa∵??12bb2(a?b)2222?1,??0,∴x1?2x1x2?1?2x1x2?1??3 ?x1x2?x2?x1?x1x2?x2aaa2x1(3)由(2)知， ∴?12?2x2c2(a?b)2b?1?2?1??(?1)2?12aaa b1b3b22?1?2，∴?(?1)2?4∴??(?1)2?1?3 ∴x1?x2??0,3? a4a4a题型二：一元二次不等式及其解法 〖例1〗（2007福建） x?2是x?x?6?0的什么条件……（ ） 2A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 3 解：由|x｜＜2，得：－2＜x＜2，由x?x?6?0得：－2＜x＜3， －2＜x＜2成立，则－2＜x＜3一定成立，反之则不一定成立，所以，选Ａ. 22x〖例2〗(2008江西文)不等式 x解：原不等式变为222?2x?4?12的解集为__________． ?2x?4?2?1，由指数函数的增减性，得： x2?2x?4??1?(x?3)(x?1)?0?x?[?3,1]，所以填：[?3,1] A??x|x2?5x?4≤0?B??x|x2?2ax?a?2≤0?〖例3〗已知集合，，若B?A， 求实数a的取值范围． 解： A??x|x2?5x?4≤0???x|1≤x≤4?． 2f(x)?x?2ax?a?2，它的图象是一条开口向上的抛物线． 设 2（1）若B??，满足条件，此时??0，即4a?4(a?2)?0， 解得?1?a?2； （2）若B??，设抛物线与x轴交点的横坐标为x1，x2， 且x1≤x2，欲使B?A，应有 ?x|x≤x≤x???x|1≤x≤4?， 12?f(1)≥0，?f(4)≥0，????2a≤4，?1≤?2??≥0，结合二次函数的图象，得?? ?1?2a?a?2≥0，?2?4?8a?a?2≥0，??1≤a≤4，182≤a≤?4a2?4(a?2)≥0，7． 即? 解得?18?，???17?综上可知a的取值范围是?． 4
