高等数学（下）期末试题（2）
二、填空题（每题３分，总计１５分）。
1、函数f(x,y)=2x2+ax+xy2+2y在点(1,-1)处取得极值，则常数a＝______。 2、若曲面x2+2y2+3z2=21的切平面平行于平面x-4y+6z+25=0，则切点坐标为______________________。 3、二重积分蝌dy011yye-xdx的值为______________。
35、微分方程y￠=y的通解为_____________________。 x+y2三、计算题（每题７分，总计３５分）。
?2z2、设z=f(x-y,xy)具有连续的二阶偏导数，求。
抖xy3、将函数f(x)=3展开成x的幂级数，并指出收敛域。 22-x-x-3y?+2y=2xe，且其图形在点(0,1)与曲线4、设y?y(x)满足方程yⅱy=x2-x+1相切，求函数y(x)。
5、计算òLds，其中L是螺旋线x=8cost,y=8sint,z=t对应0＃t222x+y+z2p的弧段。
四、计算题（每题７分，总计３５分）。
1231、设a>0，计算极限lim(+2+3+n??aaa2、计算蝌?zdv，其中W由不等式z?W+n)的值。 nax2y2及1?x2y2+z2?4所确定。
4、将函数f(x)=x(-1＃x1)展开成以2为周期的傅立叶级数。
5、设函数f(x)具有连续导数并且满足f(1)=3，计算曲线积分
òL(yf2(x)+x)dx+(x2f(x)+y)dy的值，假定此积分在右半平面内与路径无关，
曲线L是由(1,2)到(2,1)的任一条逐段光滑曲线。 五、本题５分。 对p>0，讨论级数?
￥n=1(-1)n的敛散性。 n+1np1
一、单项选择题（每题２分，总计１０分）。 1、Ｄ；2、Ｂ；3、Ａ；4、Ｄ；5、Ｃ 二、填空题（每题３分，总计１５分）。
1,2,1、-5；2、(北x-y=C y2)；3、1(1-6e-1)；4、1；5、8三、计算题（每题７分，总计３５分）。
?z?f1?yf2,2、?x2?z??f1?xf2 ?y轾抖f1f2抖z抖z犏==+y[f1+yf2]=抖xy抖y犏抖yy?y臌x=(-f11+xf12)+y(-f21+xf22)+f2=-f11+(x-y)f12+xyf22+f23
、
31111f(x)?????21?x2?x1?x212?x?xnn?????1(?1)nn?x?n??x??(?1)?????1?n?1?x2n?02?2?n?0n?0??
2
收敛域为(?1,1)。
4、设y?y(x)满足方程y???3y??2y?2e，且其图形在点(0,1)x与曲线y?x2?x?1相切，求函数y(x)。
2解：由条件知y?y(x)满足y(0)?1,y?(0)??1
由特征方程r?3r?2?0?r1?1,r2?2,
x2xY?Ce?Ce对应齐次方程的通解设特解为12y?Axe*x，其中A为待定常数，代入方程，得
从
xA??2?y*??2xex而得
x通解
y?C1e?C2e5、计算?xLx2x?2xe,代入初始条件得
C1?1,C2?0最后得y(x)?(1?2x)e
2ds?y2?z2，其中L是螺旋线x?8cost,y?8sint,z?t对
应0?t?2?的弧段。
解：ds?xt??yt??zt?dt?65dt
222 3
?L2?dsdt65t?65?22??arctan22288x?y?z08?t2?065?8四、计算题（每题７分，总计３５分）。
23n?????)的值。1、设a?0，计算极限lim(1 aaaan???23nns(x)?nx?(?1?x?1)，解：设则原问题转
n?1?化为求和函数在
s(x)?x?nxn?1?n?1?nx?1a处的值而
?n?n?1?x?(x)??x(?x)??x(x?xn?1n?1n?1?)??x??a?1???故所求值为s??a?(a?1)2
x2?y22、计算???zdv，其中?由不等式z??及
1?x2?y2?z2?4所确定。
：
解
4
