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《函数--1》 一．必修2函数内容
1. 函数指数函数及其性质 2. 对数函数及其性质y?logax?a?0,a?1? 图象：y?ax?a?0,a?1? 图象：
yyy=logaxy=ax0
； ?M???logaM?logaNa??N?1logba ⑶logaMn?nlogaM.
b?logcb.
logca logbm?mlob
agannlogab?
4. 幂函数：注意图像规律
5. 方程的根与函数的零点 方程f?x??0有实根 ? 函数y?f?x?的图象与x轴有交点 ?函数y?f?x?有零点.
零点存在性定理： 如果函数y?f?x?在区间?a,b? 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f?a??f?b??0，那么函数y?f?x?在区间?a,b?内有零点。
6. 抽象函数：经常使用赋值法；绝对值函数，经常分段或者利用几何意义求解。
二、举例运用
例1. 设f(x)是定义在实数集R上的函数，满足f(0)＝1，且对任意实数a、b，有f(a－b)＝f(a)－b(2a－b＋1)，则f(x)＝________. X2+x+1,令b=a即可
同步练习：1.①设f(x)是R上的函数，满足f(x)+f(y)?f(x?y)，求证：f(x)是奇函数； ② 设f(x)是R上的函数，满足f(x)+f(y)?1?f(x?y)，且当x?0时，f(x)?1, 求证(1）f(x)?1 是奇函数； ( 2）f(x)是R上的增函数； 3）若f(4)?5，解不等式f(3m2?m?2)?3.
2. (求值)已知函数f(x)满足：f(1)?1,4f(x)f(y)?f(x?y)?f(x?y)(x,y?R)，则f(2010)?__1/2__.
4
例2. 若 x?2?x?3 < a 的解集为空集，则实数a的取值范围是 a?5 。
同步练习：1.(2014安徽) 若函数f(x)=| x+1 |+| 2x+a |的最小值为3，则实数a 的值为（ D ）
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（A）5或8 （B）-1或5 （C）-1或 -4 （D）-4或8
2. (2015重庆)若函数f(x)= |x+1|+2|x-a|的最小值为5，则实数a=_______. 4或 -6
1? a? 2 对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是 3. (2014重庆)若不等式 2 x ? 1 ? x ? 2 ? a 2
2____________. [-1，1]
2作业训练：
(奇偶性、求值) 1.已知定义在R上的奇函数f?x?和偶函数g?x?满足f(x)?g(x)?ax?a?x?2（a＞0,且
a?0）．若g?2??a，则f?2?= ( B )
A．2
B．15
4C． 17
4D．a
21 2. 已知偶函数f(x)在区间?0,??)单调增加，则满足f(2x?1)＜f()的x 取值范围是（ A ）
3（A）（1，2） (B) ［1，2） (C)（1，2） (D) ［1，2）
33332323 3. 若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(??,0]上是减函数，且f(2)?0，则使得f(x)?0的x的取值范围是（ D ）A．(??,2) B．(2,??) C．(??,?2)?(2,??) D．（－2，2）
5. (2014湖南)已知
f(1)?g(1)?( C )
f(x)、g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且
f(x)?g(x)=x3?x2?1，则
A、?3 B、?1 C、1 D、3
6. (2014全II)已知偶函数f(x)在[0,??)单调递减，f(2)?0．若f(x?1)?0，则x的取值范围是 ． 答案：(?1,3)
求解析式：7.函数f(x)是一个偶函数，g(x)是一个奇函数，且f(x)?g(x)?1，求f(x).
x?1
8. 已知f(x)?2f(?x)?9x?2,x?R，则f(x)= .
求定义域值域
9. y= lg (ax2+2x+1) 的定义域是R，则实数a的取值范围是 .
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y= lg (x2+ax+1)的值域是R，则实数a的取值范围是 关于x的方程5x?a?3有负根，则a的取值范围是__________
5?a10. 0 A 1< n 单调性对称性周期性 11. (2009山东卷文)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x?4)??f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( ). A.f(?25)?f(11)?f(80) B. f(80)?f(11)?f(?25) C. f(11)?f(80)?f(?25) D. f(?25)?f(80)?f(11) 12. 函数y?f(x)的图象与函数y?log3x(x?0)的图象关于直线y?x对称，则f(x)?__________。 单调性奇偶性、图像、比较大小： 1?1?13.(07天津) 设a,b,c均为正数，且2a?loga，?，????log2c.则（ ） ???log1b12bc?2?2?2? A. a?b?c B. c?b?a C. c?a?b D. b?a?c 14.(07重庆) 已知定义域为R的函数f?x?在区间?8,???上为减函数，且函数y?f?x?8?为偶函数，则（ ） A. f?6??f?7? B. f?6??f?9? C. f?7??f?9? D. f?7??f?10? 15. （2009湖南卷文）设函数y?f(x)在(??,??)内有定义，对于给定的正数K，定义函数 取函数f(x)?2?x。当K=1时，函数fK(x)的单调递增区间为( C ) 2A ．(??,0) B．(0,??) C ．(??,?1) D ．(1,??) 16. 若函数y?(1)|1?x|?m的图象存在有零点，则m的取值范围是__________ －1≤m<0 17. 定义域和值域均为??a,a?（常数a?0）的函数y?f?x?和y?g?x?的图像如图所示，给出下列四个命题： （1）函数y=f有且仅有三个零点； ??g?x???2（2）函数y?g?有且仅有三个零点； ?f?x???（3）函数y=f?有且仅有九个零点； ?f?x???（4）函数y=g?有且仅有一个零点； ?g?x???那么，其中正确命题的序号是__ 1,4_______ - 3 - 望子成龙学校暑假营~ 高一 勤奋，博学，笃志，感恩！ x?x18.(2009山东卷文)函数y?e?e的图像大致为( ). ex?e?x y11 11 xO1O1O1xxO1 xD Ａ A BＢ ＣC Ｄ yx?x2x【解析】:函数有意义,需使ex?e?x?0,其定义域为?x|x?0?,排除C,D,又因为y?e?e?e?1?1?2,所以当x?0时函 ex?e?xe2x?1e2x?1yy数为减函数,故选A. (2009山东卷文)若函数f(x)=a-x-a(a>0且a?1)有两个零点，则实数a的取值范围是 . {a|a?1}19. x专题：对称性、奇偶性、周期性和单调性知识点 一、函数对称性 图像本身的对称性： （一）函数f(x)1. 轴对称：f(x?a)?f(b?x) y?f(x)图像关于直线x?x?a?b?x?a?b对称； 22推论：f(a?x)?f(a?x)， f(x)?f(2a?x)， f(?x)?f(2a?x)都 表示y?f(x)图像关于直线x?a?b对称； 22. 中心对称：f(a?x)?f(b?x)?2c表示 y?f(x)图像关于点(a?b,c)对称 2推论：f(a?x)?f(a?x)?2b，f(x)?f(2a?x)?2b，f(?x)?f(2a?x)?2b都 y?f(x)图像关于点(a,b)对称 （二）两个函数图像之间的对称性： 1. y?f(x)与y?f(?x)图像y轴（直线x=0）对称； y?f(x)与y??f(x)图像关于x轴对称； y?f(x)与y??f(?x)图像关于原点对称； 一对反函数(如y?ax与y?logax)图像关于直线y?x对称 2. 一般地，两个函数y?f(a?x)与y?f(b?x)图像关于直线x?b?a对称(即只需令a?x?b?x即可)； 2推论：1. y?f(a?x)与y?f(a?x)图像关于直线x=0对称；y?f(x)与y?f(2a?x)图像关于直线x=a对称； 3. 函数F(x,y)?0与F(2a?x,2b?y)?0图像关于点(a,b)中心对称. 二、周期性 1.f(x?a)?f(x?b)f(x?a)??f(x?a)?1 f(x)y?f(x)有周期b?a f(x?a)??f(x)1?f(x)y?f(x)有周期2a 1f(x)?1y?f(x)有周期2a f(x?a)?1?f(x) 或f(x?a)??y?f(x)有周期4a f(x?2a)?f(x?a)?f(x) y?f(x)有周期3a 1?f(x) 1?f(x)y?f(x)有周期6a 2, 若y?f(x)有两条对称轴x?a,x?b， y?f(x)有周期2(b?a) 若y?f(x)有两个对称中心(a,0),(b,0)，y?f(x)有周期2(b?a) 若y?f(x)有一个对称中心(a,0),和一条对称轴x?b，y?f(x)有周期4(b?a) 以上：b?a - 4 - 望子成龙学校暑假营~ 高一 勤奋，博学，笃志，感恩！ 举例运用 例1. y?f(x)是R上奇函数，f(x?2)??f(x)，当x?[0,1]时，f(x)?x，求f(7.5)的值，并作函数简图。 1. （2014全）奇函数f(x)的定义域为R，若f(x?2)为偶函数，且f(1)?1，则f(8)?f(9)?（ ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 2. y?f(x)是(0,2)上是增函数，且函数f(x?2)是偶函数，比较f(1)，f(5),f(7)的大小。 22 3.(1989全)设f(x)是定义在区间(-∞,+∞)上以2为周期的函数,对k∈Z,用Ik表示区间(2k-1,2k+1],已 2 知当x∈I0时f(x)=x.(Ⅰ)求f(x)在Ik上的解析表达式; 4.y?f(x)的周期为4，且 f(x?2)?f(2?x)对x?R都成立，判定y?f(x)d的奇偶性。 - 5 -
