n+1
＝9＋9－31－3－(n+2)·3n+1
＝92n＋3n+12－2×3． 所以T＝2n＋3n+19
n4×3－4
．
22．解：
（1）∵DC∥AB，AB＝BC，∴∠ACD＝∠CAB＝∠ACB．
在△ACD中，记DC＝AC＝t，由余弦定理得
cos∠ACD＝DC2＋AC2－AD22t2－1
2DC·AC＝2t2．
在△ACB中，cos∠ACB＝AC2＋BC2－AB2 t
2AC·BC＝2
．
2
由2t－1 t 2t2＝2得t3－2t2＋1＝0，即(t－1)(t2
－t－1)＝0， 解得t＝1，或t＝1±52
．
∵ t＝1与梯形矛盾，舍去，又t>0， ∴ t＝1＋51＋52，即DC＝2
．
（2）由（1）知∠CAD＝∠ADC＝∠BCD＝2∠ACD．
故5∠ACD＝180°，∠ACD＝∠ACB＝36°， 故 ∠DPC＝3∠ACB＝108°．
在△DPC中，由余弦定理得DC2
＝DP2
＋CP2
－2DP·CPcos∠DPC， 即 t2
＝DP2
＋CP2
－2DP·CPcos108° ＝(DP＋CP)2
－2DP·CP(1＋cos108°) ＝(DP＋CP)2
－4DP·CPcos2
54°
∵ 4DP·CP≤(DP＋CP)2
，(当且仅当DP＝CP时，等号成立．) ∴ t2
≥(DP＋CP)2
(1－cos254°)
＝(DP＋CP)2
sin2
54°
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…10分
…12分
…6分
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＝(DP＋CP) cos36° ＝(DP＋CP)·
4
∴ (DP＋CP)≤4，DP＋CP≤2．
故 当DP＝CP＝1时，DP＋CP取得最大值2．
…12分
2
2
22
t2
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