精品文档 用心整理
则QF∥BC， =
，即=
，
QF=t，
S△AQP=×（3﹣t）×t=﹣t+t， S=6﹣（﹣t+t） =t﹣t+6；
（3）（t﹣t+6）：6=13：15，
整理得，t﹣3t+2=0
解得：t1=1，t2=3（舍去）；
当t=1时，四边形BQPC的面积与Rt△ABC的面积比为13：15； （4）如图，DE经过点C，作QH⊥BC于H，
22
2
2
2
∵DH∥AC， ∴===
=
，
，
，QH=，
资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
BH=
，HC=t，
∵DE垂直平分PQ， ∴PC=CQ， （
）+（t）=t，
2
2
2
90t=225， t=．
【总结升华】本题考查的是相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，解答时，注意方程思想的正确运用．
6 .如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（－8，0），直线BC经过点B（－8，6），C（0，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转а度得到四边形OAB'C'，此时直线OA’、直线B’C’分别与直线BC相交于点P、Q.
（1）四边形OABC的现状是 ，当а=90°时，BP：PQ的值是 ；
（2）①如图，当四边形OA’B’C’的顶点B’落在y轴正半轴时，求BP：BQ的值； ②如图，当四边形OA’B’C’的顶点B’落在直线BC上时，求△OPB'的面积； （3）在四边形OA’B’C’旋转过程中，当0＜а°≤180°时，是否存在这样的点P和点Q，使BP=0.5BQ？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【思路点拨】（1）根据有一个角是直角的平行四边形进行判断当α=90°时，就是长与宽的比； （2）①利用相似三角形求得CP的比，就可求得BP，PQ的值； ②根据勾股定理求得PB′的长，再根据三角形的面积公式进行计算． 【答案与解析】（1）四边形OA′B′C′的形状是矩形；根据题意即是矩形的长与宽的比，即 （2）①∵∠POC=∠B′OA′，∠PCO=∠OA′B′=90°， ∴△COP∽△A′OB′． 4． 3CPOCCP6=，即 =， A?B?OA?6897∴CP=，BP=BC-CP=． 22∴同理△B′CQ∽△B′C′O， ∴CQB?CCQ10?6=，即 =， 68C?OB?C?∴CQ=3，BQ=BC+CQ=11． 资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
7BP7∴=2=； 9PQ?3152②在△OCP和△B′A′P中， ??OPC??B?PA????OCP??A??90?， ?OC?B?A??∴△OCP≌△B′A′P（AAS）． ∴OP=B′P．设B′P=x， 在Rt△OCP中，（8-x）+6=x，解得x=∴S△OPB′=22225． 412575××6=； 244（3）
过点Q画QH⊥OA′于H，连接OQ，则QH=OC′=OC， ∵S△POQ=11PQ?OC，S△POQ=OP?QH， 221BQ， 2∴PQ=OP． 设BP=x，∵BP=∴BQ=2x， 如图1，当点P在点B左侧时， OP=PQ=BQ+BP=3x， 222在Rt△PCO中，（8+x）+6=（3x）， 33． 6，x2=1-6（不符实际，舍去）223∴PC=BC+BP=9+6， 23∴P1（-9-． 6，6）2解得 x1=1+如图2，当点P在点B右侧时， ∴OP=PQ=BQ-BP=x，PC=8-x． 222在Rt△PCO中，（8-x）+6=x， 资料来源于网络 仅供免费交流使用
精品文档 用心整理
解得x=25． 4257=， 44∴PC=BC-BP=8-∴P2（-7，6）， 4综上可知，点P1（-9-371，P2（-，6），使BP=BQ． 6，6）242【总结升华】本题考查了旋转的性质；勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．
举一反三：
【变式】如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，?BCD?90°，且CD?2AD，tan?ABC?2，过点
D作DE∥AB，交?BCD的平分线于点E，连接BE．
（1）求证：BC?CD；
（2）将△BCE绕点C，顺时针旋转90°得到△DCG，连接EG.．求证：CD垂直平分EG. （3）延长BE交CD于点P．求证：P是CD的中点．
A D E
B
C G
【答案】（1）延长DE交BC于F， ∵AD∥BC，AB∥DF， ∴AD=BF，∠ABC=∠DFC． 在Rt△DCF中， ∵tan∠DFC=tan∠ABC=2， ∴CD?2， CF即CD=2CF， ∵CD=2AD=2BF， ∴BF=CF， ∴BC=BF+CF=11CD+CD=CD．即BC=CD． 22
资料来源于网络 仅供免费交流使用
