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举一反三：
【变式】在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，∠A＝60°，AB＝2CD，E、F分别为AB、AD的中点，连结EF、EC、BF、CF.
⑴判断四边形AECD的形状（不证明）；
⑵在不添加其它条件下，写出图中一对全等的三角形，用符号“≌”表示，并证明. ⑶若CD＝2，求四边形BCFE的面积.
【答案】（1）平行四边形；
（2）△BEF≌△CDF或（△AFB≌△EBC≌△EFC） 证明：连接DE，
∵AB=2CD，E为AB中点， ∴DC=EB， 又∵DC∥EB， ∴四边形BCDE是平行四边形， ∵AB⊥BC， ∴四边形BCDE为矩形， ∴∠AED=90°，∠CDE=∠BED=90°，BE=CD， 在Rt△AED中，∠A=60°，F为AD的中点， ∴AF=1AD=EF， 2∴△AEF为等边三角形， ∴∠DFE=180°-60°=120°， ∵EF=DF， ∴∠FDE=∠FED=30°． ∴∠CDF=∠BEF=120°， 在△BEF和△FDC中， ?DF?EF???CDF??BEF?120?， ?DC?BE?资料来源于网络 仅供免费交流使用
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∴△BEF≌△CDF（SAS）． （3）若CD=2，则AD=4， ∵∠A=60°， ∴sin60°=3DE=， AD2∴DE=AD?3=23 2∴DE=BC=23， ∵四边形AECD为平行四边形， ∴S△ECF与S四边形AECD等底同高， 111S四边形AECD=CD?DE=×2×23=23， 22211S△CBE=BE?BC=×2×23=23， 22∴S△ECF=∴S四边形BCFE=S△ECF+S△EBC=23+23=43． 类型二、四边形与其他知识的综合运用
4. 有矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合. （1）如果折痕FG分别与AD、AB交于点F、G，AF=
2，求DE的长； 3（2）如果折痕FG分别与CD、DA交于点F、G，△AED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长.
【思路点拨】（1）根据AF，AD的长可以求得DF的长，根据折叠知EF=AF，再根据勾股定理即可计算得到DE的长； （2）根据直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点，则折痕与AE的交点O即是其外接圆的圆心．设DE=x，根据三角形ADE的中位线定理求得OM=1x，进一步表示出ON的长．根据直线和圆相切，则圆心到直线2的距离等于圆的半径得到AE=2ON，在直角三角形ADE中，根据勾股定理列方程求解．再根据直角三角形FOE相似于直角三角形ADE，求得OF的长，从而根据轴对称的性质得到FG=2OF． 【答案与解析】（1）在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，AF=根据轴对称的性质，得EF=AF=2，∠D=90°． 32． 3资料来源于网络 仅供免费交流使用
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∴DF=AD-AF=1． 3232在Rt△DEF中，DE=（）-（）= （2）设AE与FG的交点为O． 根据轴对称的性质，得AO=EO． 取AD的中点M，连接MO． 1323． 31DE，MO∥DC． 21设DE=x，则MO=x， 2则MO=在矩形ABCD中，∠C=∠D=90°， ∴AE为△AED的外接圆的直径，O为圆心． 延长MO交BC于点N，则ON∥CD． ∴∠CNM=180°-∠C=90°． ∴ON⊥BC，四边形MNCD是矩形． ∴MN=CD=AB=2．∴ON=MN-MO=2-1x． 2∵△AED的外接圆与BC相切， ∴ON是△AED的外接圆的半径． ∴OE=ON=2-1x，AE=2ON=4-x． 2222在Rt△AED中，AD+DE=AE， 222∴1+x=（4-x）． 15． 815117∴DE=，OE=2-x=． 8216解这个方程，得x=根据轴对称的性质，得AE⊥FG． ∴∠FOE=∠D=90°．可得FO=17． 30又AB∥CD，∴∠EFO=∠AGO，∠FEO=∠GAO． ∴△FEO≌△GAO．∴FO=GO． 资料来源于网络 仅供免费交流使用
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∴FG=2FO=17． 1517． 15∴折痕FG的长是【总结升华】本题通过矩形纸片折叠，利用轴对称图形的性质，在丰富的图形关系中，考查学生获取信息和利用所得信息认识新事物的能力，本题对图形折叠前后的不变量的把握、直线与圆位置关系的准确理解、方程思想的运用意识和策略等具有可再抽象性． 【四边形综合复习 例3】
5．（2015?黄岛区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交BC于点E．点P、Q同时出发，当点P到达点A时停止运动，点Q也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）． （1）当t为何值时，DE∥AB？
（2）求四边形BQPC的面积s与t的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使四边形BQPC的面积与Rt△ABC的面积比为13：15？若存在，求t的值．若不存在，请说明理由；
（4）若DE经过点C，试求t的值．
【思路点拨】（1）根据DE∥AB，得到△AQP∽△ACB，根据相似三角形的对应边成比例，求出t； （2）根据四边形BQPC的面积=△ABC的面积﹣△AQP的面积，列出关于x、y的函数关系式； （3）根据（2）中的函数关系式和面积比，求出t；
（4）DE经过点C，作QH⊥BC于H，得到DH∥AC，用t表示出QH、EH，根据垂直平分线的性质和勾股定理列出关系式求出t． 【答案与解析】解：（1）当DE∥AB时，∠AQP=90°， 则△AQP∽△ACB， =
，=
，t=；
（2）∠C=90°，AC=3，AB=5，根据勾股定理得，BC=4， S△ABC=×3×4=6， 作QF⊥BC于F，
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