RLdnDf(t)?nadt?nt??1n???1(t??)f(?)d???(n??)?a???n???k?k?mn???m??tfat?a????d1?m?1??n???f?t??????d???adt???n???m?1???k?0??n???k?1??dnn???k?k?n???m?a?n?t?a?nmftd1?m?1?dt???t??f?????d??adtn?n???k?1?n???m?1????k?0t1dn?1??n???m?n?1?t????an???m?n???mdt????n???m?1f?m?1????d???k?0mf?k?dn?1n???k?1?a?n?1?t?a??n???k?dt??n???k??n???k????k?0mmn???m?ntf?k??a??t?a?1?m?1??t??f?????d???n???k?n?1???n???m?n?1??an???k?n??k?0f???a??t?a??????k?1?k???k???mt1?m?1??t??f?????d??????m?1??a??GaDtf?t? 由此可知，在f(x)具有m?1阶连续导数,并且m至少取????n?1的条件
下Riemann-Liouville定义与Grünwald-Letnikov定义等价，但无上述条件时, Riemann-Liouville定义是Grünwald-Letnikov定义的扩充，其应用范围更加广泛。而对于物理等许多应用问题，该条件自然能满足，所以通常我们指这两种分数阶导数等价。
2.5.2 Grünwald-Letnikov定义和Caputo定义的比较
由定义（2.3.1）得Caputo的定义为
CaD?f(t)?t1n???1(n)(t??)f(?)d? ?a?(n??)在f(x)具有m?1阶连续导数,并且m至少取????n?1的条件下,不妨假设
m?n?1,则n?m?1,再由f(k)(a)?0,k?0,1,2,Cat1Df(t)?(t??)n???1f(n)(?)d???(n??)a(0?n?1?a?n,n?m?1?),n?1,从而：
???k?0mm??tf(k)(a)(t?a)k??1(m?1)?(t??)f(?)d??(k???1)?(m???1)?a
??GaDf(t)由此可知，在f(x)具有m?1阶连续导数,m至少取????n?1，且
f(k)(a)?0,k?0,1,2,
,n?1,的条件下二者等价，否则它们不等价。
2.5.3 Riemann-Liouville定义和Caputo定义的比较
（1）. 由（2.2.2）知，?阶R-L分数阶积分可写成如下形式
??f(t)?aD1t??1(t??)f(?)d?, ?a?(?)利用R-L分数阶积分可将R-L分数阶导数定义为
RL0
dkDf(t)?????dtkvt1??t???0tf???d?1?? （2.5.3.1）
?dD???f(t)??,??k?v?0.k?dtk利用R-L分数阶积分可将Caputo分数阶导数定义为
C0Df(t)?vt
?????0?t???1??k1tf?k?d? （2.5.3.2）
?d??D???kf?t??,??k?v?0.?dt?(2). 设f(x)具有m?1阶连续导数,m至少取????n?1，那么
CD?f(t)?RLD???f?Tm?1?f;a????t?m?1
?k? （2.5.3.3） fa??k??RL??Df?t????t?a?,k?0??k???1?其中，Tm?1?f;a?为函数f的m?1阶Tylor多项式：
Tm?1?f;a???k?0m?1?t?a?k!kf?k??a?.
由此可得：（Ⅰ）根据式（2.5.3.1）和（2.5.3.2）知它们的求导顺序不一致，在R-L分数阶导数定义中是先求分数阶积分然后再求整数阶导数，而Caputo导数定义则是先求整数阶导数，然后再求分数阶积分；（Ⅱ）由（Ⅰ）易知，在f(x)具有m?1阶连续导数,m至少取????n?1，且f(k)(a)?0,k?0,1,2,,n?1,的条
件下时，Riemann-Liouville分数阶导数和Caputo分数阶导数等价；（3）Riemann-Liouville定义的分数阶微积分对常数求导数是有界的，其值为0，而Caputo定义的分数阶微积分对常数求导数，其值是无界的。
注：引入Riemann-Liouville导数定义，可以简化分数阶导数的计算; 而引入 Caputo 导数定义，则可以让其拉普拉斯变换式更简洁，有利于分数阶微分方程的讨论。
2.5.4分数阶导数和整数阶导数的比较
分数阶导数和整数阶导数最主要的区别是：分数阶导数是非局部算子，整数阶导数则为局部算子。整数阶导数反映的是函数在某一点的局部性质，而分数阶导数从定义上看实际上是一种积分，它与函数过去的状态有关，反映的是函数的非局部性质。分数阶导数的这种性质使得它非常适合构造具有记忆、遗传等效应的数学模型。我们也可以从卷积的角度来说明分数阶导数与整数阶导数的区别
[4]?1?。
3 分数阶导数的运算法则
首先，我们先来探讨一下比较常用的一种定义--Riemann-Liouville定义下分数阶导数的运算法则。
3.1分数阶导数在Riemann-Liouville定义下的运算法则
定理3.1.1 令f为在J上的连续函数，?,??0，则对任意的t?0，
????????D???f?t??D????Df?t????D?Df?t???.
证明： 直接利用定义，并交换积分顺序可得
D??D????f?t?????????0?t????11t1t??1??1?1?????f?d???????d??0??????
??1??1?????????0???t????????td?f???d?.作变量替换???t??????,可得
t11??1??1????1???D???Dft?1???d?t??f???d??????????????????0?0?B??,??t????1t??f???d????0????????
?D????f?t?定理的第二个等式同理可证。
3.1.1[5] 设?,??,0???1,如果f(x)?C1()，则有
(1)D?[D??f(x)]?f(x);D??jf?0???j(2)D[Df(x)]?f(x)??x;
j?1????1?j????k(3)D?[?f(x)??g(x)]??D?f(x)??D?g(x) 证明：
（1）利用3.1.1的结论可知
??D?kf?x??D??k?????Df?x???,
则
D?[D??f(x)]?DkD??k???[D??f(x)]?DkD?kf?x??f?x?
（2）由Riemann-Liouville分数阶积分的定义有，
