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专题八 有理数的巧算
有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性． 1．括号的使用
在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单． 例1 计算：
例2 计算下式的值：
211×555+445×789+555×789+211×445．
例3 计算：S=1-2+3-4+?+(-1)n+1·n．
例4 在数1，2，3，?，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？
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2．用字母表示数
我们先来计算(100+2)×(100-2)的值： (100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4 =1002-22．
这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为
(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．
于是我们得到了一个重要的计算公式 (a+b)(a-b)=a2-b2， ①
这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算． 例5 计算 3001×2999的值．
例6 计算 103×97×10 009的值． 例7 计算：
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例8 计算：
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．
例9 计算：
例10 计算：
3．观察算式找规律
例11 某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．
87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．
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例12 计算1+3+5+7+?+1997+1999的值．
例13 计算 1+5+52+53+?+599+5100的值．
例14 计算：
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练习一
1．计算下列各式的值：
(1)-1+3-5+7-9+11-?-1997+1999； (2)11+12-13-14+15+16-17-18+?+99+100； (3)1991×1999-1990×2000；
(4)4726342+472 6352-472 633×472 635-472 634×472 636；
(6)1+4+7+?+244；
2．某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分． 81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．
