2012届高考数学压轴题预测
专题3 解析几何
考点一 曲线（轨迹）方程的求法
y2x21. 设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆2?2?1(a?b?0)上的两点，
xbxyxy3满足(1,1)?(2,2)?0，椭圆的离心率e?,短轴长为2，0为坐标原点.
baba2 （1）求椭圆的方程；
（2）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值； （3）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.
解析：本例（1）通过e?3，2b?2，及a,b,c之间的关系可得椭圆的方程；（2）2从方程入手，通过直线方程与椭圆方程组成方程组并结合韦达定理；（3）要注意特殊与一般的关系，分直线的斜率存在与不存在讨论。
ca2?b23 答案：（1）2b?2.b?1,e????a?2.e?3 aa2y2?x2?1 椭圆的方程为4 （2）设AB的方程为y?kx?3
?y?kx?3?23k?1??(k2?4)x2?23kx?1?0x1?x2?2,x1x2?2由?y2 2k?4k?4??x?1?4由已知
x1x2y1y21k23k30?2?2?x1x2?(kx1?3)(kx2?3)?(1?)x1x2?(x1?x2)?4444bak2?413k?23k3 ?(?2)??2?,解得k??2
44k?4k?44 （3）当A为顶点时，B必为顶点.S△AOB=1 当A，B不为顶点时，设AB的方程为y=kx+b
?y?kx?b?2kb?2222 ?(k?4)x?2kbx?b?4?0得到x?x??y1222k?4??x?1?4b2?4x1x2?2
k?4yy(kx1?b)(kx2?b)x1x2?12?0?x1x2??0代入整理得:
44222b?k?411|b|4k2?4b2?162 S??|b||x1?x2|?|b|(x1?x2)?4x1x2|?222k?4第 1 页 共 10 页
4k2??1 2|b|所以三角形的面积为定值.
点评：本题考查了直线与椭圆的基本概念和性质，二次方程的根与系数的关系、解析几何的基本思想方法以及运用综合知识解决问题的能力。
2. 在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点为 A（0，－1），B（0, 1）平面内两点G、M同
???????????????????????????????????时满足①GA?GB?GC?0 , ②|MA|= |MB|= |MC|③GM∥AB
（1）求顶点C的轨迹E的方程
????????（2）设P、Q、R、N都在曲线E上 ，定点F的坐标为（2, 0） ，已知PF∥FQ ,
????????????????RF ∥FN且PF·RF= 0.求四边形PRQN面积S的最大值和最小值.
解析：本例（1）要熟悉用向量的方式表达点特征；（2）要把握好直线与椭圆的位置关系，弦长公式，灵活的运算技巧是解决好本题的关键。
???????????????????? 答案：（1）设C ( x , y )， ?GA?GB?2GO,由①知GC??2GO,?G为
△ABC的重心 ，
? G(x,y) 由②知M是△ABC的外心，?M在x轴上
33 由③知M（
x，0）， 3?????????x2x22由|MC| ? |MA| 得()?1?(x?)?y 33x2?y2?1（x≠0）化简整理得：。 3x2?y2?1的右焦点 （2）F（2，0 ）恰为3 设PQ的斜率为k≠0且k≠±
2，则直线PQ的方程为y = k ( x －2) 2由???y?k(x?2)2222?(3k?1)x?62kx?6k?3?0 22??x?3y?3?06k2?362k2设P(x1 , y1) ，Q (x2 ,y2 ) 则x1 + x2 = 2 , x1·x2 =2
3k?13k?1则| PQ | =1?k2 · (x1?x2)?4x1x2
262k226k2?3 = 1?k ·(2 )?4?23k?13k?1223(k2?1) = 3k2?1第 2 页 共 10 页
123(k2?1) ?RN⊥PQ,把k换成?得 | RN | = k3?k2 ?S =
1| PQ | · | RN | 26(k2?1)28 = =) 2?1(3k2?1)(k2?3)3(k2?2)?10k?3(k2??k2?18)?10? k22?S18?≥2 ， ≥16
k22?S3?≤ S < 2 ， (当 k = ±1时取等号) 2又当k不存在或k = 0时S = 2 综上可得
3 ≤ S ≤ 2 23 2 ?Smax = 2 ， Smin =
点评：本题考查了向量的有关知识，椭圆与直线的基本关系，二次方程的根与系数的关系及不等式，转化的基本思想方法以及运用综合知识解决问题的能力。 考点二 圆锥曲线的几何性质
x2y23. 如图，F为双曲线C：2?2?1?a?0,b?0?的右焦点 P为双曲线C右支上一点，
ab且位于x轴上方，M为左准线上一点，O为坐标原点 已知四边形OFPM为平行四边形，
PF??OF
（Ⅰ）写出双曲线C的离心率e与?的关系式；
（Ⅱ）当??1时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若AB?12，求此时的双曲线方程
分析: 圆锥曲线的几何性质结合其它图形的考查是重点。注意灵活应用第二定义。
MyPoFx解：∵四边形OFPM是?，∴|OF|?|PM|?c，作双曲线的右准线交PM于H，则
|PF|?|OF|?c?c2?e2a2????|PM|?|PH|?2，又e?，
a2a2c2?2a2e2?2|PH|cc?2c?2cce2??e?2?0
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x2y2（Ⅱ）当??1时，e?2，c?2a，b?3a，双曲线为2?2?1四边形OFPM4a3a22是菱形，所以直线OP的斜率为3，则直线AB的方程为y?3(x?2a)，代入到双曲线方程得：9x?48ax?60a?0，
又AB?12，由AB?1?k22248a260a2(x1?x2)?4x1x2得：12?2(，解)?4992x2y29272??1为所求 得a?，则b?，所以
4492742点评：本题灵活的运用到圆锥曲线的第二定义解题。
x2y24. 设A,B分别为椭圆2?2?1(a,b?0)的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且
abx?4为它的右准线
（Ⅰ）、求椭圆的方程；
（Ⅱ）、设P为右准线上不同于点（4，0）的任意一点， 若直线AP,BP分别与椭圆相交于异于A,B的点M、N，证明：点B在以MN为直径的圆内
分析：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力
a2解：（Ⅰ）依题意得 a＝2c，＝4，解得a＝2，c＝1，从而b＝3
cx2y2??1 故椭圆的方程为 43（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0） 设M（x0，y0） ∵M点在椭圆上，∴y0＝AyMPoNB(4,0)x32
（4－x0） ○1 4又点M异于顶点A、B，∴－2 P（4， 6y0） x0?2?????从而BM＝（x0－2，y0）， 第 4 页 共 10 页
