第二节 函数的单调性与最大(小)值
[考纲传真] 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质．
(对应学生用书第9页) [基础知识填充]
1．函数的单调性 (1)单调函数的定义
增函数 减函数 在函数f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A 定义 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么，就称函数f(x)在区间A上是增加的 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么，就称函数f(x)在区间A上是减少的 图像 描述 自左向右看图像是上升的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么就称A为单调区间． 2．函数的最大(小)值
前提 函数y＝f(x)的定义域为D 条件 结论 [知识拓展] 函数单调性的常用结论
(1)对任意x1，x2∈D(x1≠x2)，f
f
x1－fx2x1－x2
＞0?f(x)在D上是增函数，
(1)存在x0∈D，使得f(x0)＝M； (2)对于任意x∈D，都有f(x0)≤M (3)存在x0∈D，使得f(x)＝M； (4)对于任意x∈D，都有f(x0)≥M. 自左向右看图像是下降的 M为最大值 M为最小值 x1－fx2
＜0?f(x)在D上是减函数．
x1－x2
a
(2)对勾函数y＝x＋(a＞0)的增区间为(－∞，－a]和[a，＋∞)，减区间为[－
x
a，0)和(0，a]．
(3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．
1 / 8
(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．
[基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，x1≠x2且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在区间D上是增加的．( )
1
(2)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )
x (3)函数y＝|x|在R上是增加的．( )
(4)函数y＝x－2x在区间[3，＋∞)上是增加的，则函数y＝x－2x的单调递增区间为[3，＋∞)．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
2．(2017·深圳二次调研)下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是( ) A．y＝x 1
C．y＝
x
3
2
2
B．y＝x
?1?xD．y＝??
?2?
C [选项A，B中函数在定义域内均为单调递增函数，选项D为在定义域内为单调递减11x1－x2
函数，选项C中，设x1＜x2(x1，x2≠0)，则y2－y1＝－＝，因为x1－x2＜0，
x2x1x1x21111
当x1，x2同号时x1x2＞0，－＜0，当x1，x2异号时x1x2＜0，－＞0，所以函数
x2x1x2x1
y＝在定义域上不是单调函数，故选C．]
2
3．(教材改编)已知函数f(x)＝，x∈[2,6]，则f(x)的最大值为________，最小值为
x－1________．
22 2 [可判断函数f(x)＝在[2,6]上为减函数，所以f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝
5x－1
1x
f(6)＝.]
4．函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________． 1?1? ?－∞，－? [由题意知2k＋1＜0，得k＜－.] 2?2?
5．f(x)＝x－2x，x∈[－2,3]的单调增区间为________，f(x)max＝________.
[1,3] 8 [f(x)＝(x－1)－1，故f(x)的单调增区间为[1,3]，f(x)max＝f(－2)＝8.]
(对应学生用书第10页)
2
2
25
2 / 8
2函数单调性的判断 (1)(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x－2x－8)的单调递增区间是( ) A．(－∞，－2) C．(1，＋∞)
B．(－∞，1) D．(4，＋∞)
k
(2)试讨论函数f(x)＝x＋(k＞0)的单调性．
x
【导学号：00090017】
(1)D [由x－2x－8>0，得x>4或x<－2.
设t＝x－2x－8，则y＝ln t在t∈(0，＋∞)上为增函数．
欲求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x－2x－8的单调递增区间． ∵函数t＝x－2x－8的单调递增区间为(4，＋∞)， ∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)． 故选D．]
(2)法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取
2
2
2
2
x1，x2，令0＜x1＜x2，那么f(x2)－f(x1)＝?x2＋?－?x1＋?＝(x2－x1)＋k?－?x2x1x2x1
?
?
k????
k??
?1?
1?
?
x1x2－k
＝(x2－x1)·. x1x2
因为0＜x1＜x2，所以x2－x1＞0，x1x2＞0. 故当x1，x2∈(k，＋∞)时，f(x1)＜f(x2)， 即函数在(k，＋∞)上是增加的． 当x1，x2∈(0，k)时，f(x1)＞f(x2)， 即函数在(0，k)上是减少的．
k
考虑到函数f(x)＝x＋(k＞0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调
x性，故在(－∞，－k)上是增加的，在(－k，0)上是减少的．
综上，函数f(x)在(－∞，－k)和(k，＋∞)上是增加的，在(－k，0)和(0，k)上是减少的． k
法二：f′(x)＝1－.
x2
令f′(x)＞0得x＞k，即x∈(－∞，－k)或x∈(k，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－k)和(k，＋∞)．
令f′(x)＜0得x＜k，即x∈(－k，0)或x∈(0，k)，故函数的单调减区间为(－
k，0)和(0，k)．
22
3 / 8
故函数f(x)在(－∞，－k)和(k，＋∞)上是增加的，在(－k，0)和(0，k)上是减少的．
[规律方法] 1.函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则．
2．利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后应注意差式的分解变形要彻底． 3．利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确．
易错警示：求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如本题(1)． [变式训练1] (1)(2016·北京高考)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是
( )
1
A．y＝
1－x C．y＝ln(x＋1)
B．y＝cos x D．y＝2
－x12
(2)函数f(x)＝log(x－4)的单调递增区间是( )
2 A．(0，＋∞) C．(2，＋∞)
(1)D (2)D [(1)选项A中，y＝1
在(－1,1)上是增加的； 1－x
选项B中，y＝cos x在(－1,1)上先增后减；
选项C中，y＝ln(x＋1)在(－1，＋∞)上是增加的，故y＝ln(x＋1)在(－1,1)上是增加的；
B．(－∞，0) D．(－∞，－2)
1
在(－∞，1)和(1，＋∞)上是增加的，故y＝1－x
?1?x－x－x 选项D中，y＝2＝??在R上是减少的，故y＝2在(－1,1)上是减少的．
?2?
(2)由x－4＞0得x＞2或x＜－2，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋1
∞)，因为y＝logt在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t2＝x－4的单调递减区间，可知所求区间为(－∞，－2)．]
2
2
利用函数的单调性求最值 x2＋2x＋a 已知f(x)＝，x∈[1，＋∞)，且a≤1.
x1
(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；
2
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．
[思路点拨] (1)先判断函数f(x)在[1，＋∞)上的单调性，再求最小值；(2)根据
4 / 8
