练习4.1
3．判断下列语句是否为命题，如是命题则请将其形式化。 （9）．我明天或后天去北京或天津。
解：是命题。形式化为：P∨Q∨R∨S。其中P：我明天去北京，Q：我明天去天津，R：我后天去北京，S：我后天去天津。
（10）如果买不到飞机票，我不去海南岛。 解：是命题。形式化为：┐P→┐Q：。其中P：我买到飞机票，Q:我去海南岛 （11）只要他出门，他必买书，不管他带的钱多不多。
解：是命题。形式化为（P∧R→Q）∧（P∧┐R→Q）(或者（P∧R）∨（P∧┐R）→Q或者P∧（R∨┐R）→Q )。其中P：他出门，Q:他买书，R：他带的钱多。 (12) 除非你陪伴我或代我雇辆车子，否则我不去。 解：是命题。形式化为：（P∨Q）? R。其中：P：你陪伴我。Q：你代我雇辆车子。R：我去。
4．根据命题公式的定义和省略括号的约定，判定下列符号串是否为公式。若是，请给出他的真值表，并请注意这些真值表的特点。 解：（6）是公式。（7）是公式。（9）是公式。 真值表分别如下： p q p→q ┐q p→┐q p∧(p→q) p∧(p→q) ∧(p→┐q) 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 p q p∨q ┐(p∨q) ┐q ┐p ┐q∧┐p ┐(p∨q) ?┐q∧┐p 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 p q r p→q q→r r→p (p→q) ∧( q→r) (p→q) ∧( q→r) →(r→p) 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 5.给出弄真下列命题公式的指派。 (1) (p→q) ∧q)→┐p
解：写出真值表可得到其弄真指派为：(1,0),(0,1),(0,0)
练习4.2
3．试判定以下各式是否为重言式。 解：用真值表法可以判定。
（1）不是重言式。指派为（0，1）时，公式真值为0。 （3）重言式。
（5）不是重言式。指派为（1，0，0）和（0，0，1）时，公式真值为0。 8．用三种不同的方法证明下列逻辑等价式。 （1）(A? B) ? (A∧B) ∨(┐A∧┐B) 证明： 方法一： A B A? B 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 A∧B 0 0 0 1 ┐A 1 1 0 0 ┐B 1 0 1 0 ┐A∧┐B 1 0 0 0 ( (A∧B) ∨(┐A∧┐B)) 1 0 0 1 (A? B) ? ( (A∧B) ∨(┐A∧┐B)) 1 1 1 1
方法二: 假设α为一指派。
若α(A? B)=1，则α(A)= α(B)。若α(A)= α(B)=0。则α(┐A)= α(┐B)=1,从而α(┐A∧┐B)=1，进而α(A∧B)∨(┐A∧┐B)=1。若α(A)= α(B)=1。则α(A∧B)=1，进而α（(A∧B)∨(┐A∧┐B)）=1。
若α(A? B)=0，则α(A)和α(B)不相等。从而α(┐A)和α(┐B)也不相等。则α(A∧B)=0且α(┐A∧┐B)=0，从而α（(A∧B)∨(┐A∧┐B)）=0。 所以(A? B) ? (A∧B) ∨(┐A∧┐B)
方法三:
(A? B) ? (A→B) ∧(B→A) ? (┐A∨B) ∧(┐B∨A)
? (B∨┐A) ∧(A∨┐B) （交换律）
? (A∨┐A)∧(B∨┐A) ∧(A∨┐B)∧(B∨┐B) （添项） ? ((A∧B)∨┐A) ∧((A∧B)∨┐B) （分配律） ? (A∧B)∨(┐A∧┐B)
（2）A→(B→C) ?B→(A→C) 证明： 方法一：
A B C B→C A→(B→C) A→C B→(A→C) A→(B→C) ?B→(A→C) 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
方法二:
假设α为一指派。
若α(A→(B→C))=1,分以下二种情况：
（I）α(A)=1，则α(B→C)=1. 若α(B)=0，则α(B→(A→C))=1.若α(B)=1，则α(C)=1,从而α(B→(A→C))=1.
(II) α(A)=0, 则α(A→C)=1。从而α(B→(A→C))=1。
若α(A→(B→C))=0,则α(A)=1, α(B)=1, α(C)=0,从而α(B→(A→C))=0。 所以：A→(B→C) ?B→(A→C)
方法三: A→(B→C)
? A→(┐B∨C) ? ┐A∨(┐B∨C) ? (┐A∨┐B)∨C ? (┐B∨┐A)∨C ? ┐B∨(┐A∨C) ? ┐B∨(A→C) ? B→(A→C)
9．用三种不同的方法证明下列逻辑蕴涵式。 （1）A∧B?A?B 证明： 方法一：
A B A∧B A?B A∧B→A?B 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 方法二:
若α为一指派，满足α(A∧B)=1,则α(A)= α(B)=1,从而α(A?B)=1. 所以A∧B?A?B
方法三: A∧B
? (A∧B)∨(┐A∧┐B) ?A?B
（3）A→B? ((A?B)→A)→B 证明： 方法一： A B A→B A?B (A?B)→A ((A?B)→A)→B (A→B)→( ((A?B)→A)→B) 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 方法二：若α为一指派，满足α(A→B)=1,则分以下三种情况： （I）α(A)=1，α(B)=1。则α(((A?B)→A)→B)=1 （II）α(A)=0，α(B)=1。则α(((A?B)→A)→B)=1 （III）α(A)=0，α(B)=0。则α(((A?B)→A)→B)=1 所以A→B? ((A?B)→A)→B。 方法三： 由于 A→B
?┐A∨B 而且
((A?B)→A)→B
?┐(┐(A?B)∨A) ∨B ? ( (A?B) ∧┐A) ∨B
? ((A∧B)∨(┐A∧┐B)) ∧┐A) ∨B ?(┐A∧┐B) ∨B ?┐A∨B
所以A→B? ((A?B)→A)→B成立。 或者 A→B ?┐A∨B
?(┐A∧┐B) ∨B
? ((A∧B)∨(┐A∧┐B)) ∧┐A) ∨B ? ( (A?B) ∧┐A) ∨B ? ┐(┐(A?B)∨A) ∨B ? ((A?B)→A)→B
练习4.3
2．求下列公式的析取范式、合取范式及主析取范式、主合取范式，并据主析（合）取范式直接确定该公式的弄真指派和弄假指派。 （1）(┐p∨┐q) →(p?┐q) ?┐ (┐p∨┐q) ∨(p?┐q)
? (p∧q) ∨(p∧┐q) ∨(┐p∧q) 主析取范式, 析取范式 ? (p∧(q∨┐q)) ∨(┐p∧q) ? p ∨(┐p∧q) ? (p∨┐p)∧(p∨q)
? (p∨q) 主合取范式，合取范式， 弄真指派: (1,1),(1,0),(0,1) 弄假指派: (0,0)
(2) q∧(p∨┐q) 合取范式
