证明题： 设f?x?在?0,???上连续，并且limf?x??b，又a?0，求证：对于方程
x???dy?ay?f?x?的一切解y?x?，dx均有limy?x??x???b。 a证明 由一阶线性方程通解公式，方程的任一解可表示为 y?x??e即
?axx??at??C?ftedt??， ?0??y?x??C??f?t?eatdt0xeax。
由于limf(x)?b，则存在X，当x?X时，f(x)?M。因而
x???xX
?0f(t)edt?at?0Xf?t?edt?M?eatdt
atXx ??0f?t?eatdt?Max(e?eaX)， ax??axat由a?0，从而有lim?C??f?t?edt???，显然lime???。
x???x???0??应用洛比达法则得
x???limy?x??limC??f?t?eatdt0xx???eax
f?x?eax?lim axx???ae ?limx???f?x?b?。 aa证明题：线性齐次微分方程组x??A(t)x最多有n个线性无关的解，其中A(t)是定义在区间a?t?b上的
n?n的连续矩阵函数。
证 要证明方程组x??A(t)x最多有n个线性无关的解，首先要证明它有n个线性无关的解，然后再证明任意
n?1个解都线性相关。
由于A(t)是定义在区间a?x?b上的n?n的连续矩阵函数，所以对任意给定的初始条件x(t0)?η，
a?t0?b，方程组x??A(t)x存在唯一的解。分别取初始条件
?1??0??0??0??1??0?x1(t0)???，x2(t0)???，．．．xn(t0)???，
???????????????00?????1?它们对应的解分别为x1(t),x2(t),?xn(t),且这n个解在t0时的朗斯基行列式为W(t0)?1?0，则
x1(t),x2(t),?xn(t)是n个线性无关的解。
任取方程组x??A(t)x的n?1个解x1(t),x2(t),?xn(t),xn?1(t)，?t?(a,b)，这n?1个解都是n维向量，于是由线性代数有关理论知，它们线性相关。
这就证明了方程组x??A(t)x最多有n个线性无关的解。
d2xdx?a2(t)x?f(t) 证明题：如果已知二阶线性非齐次方程2?a1(t)dtdtx2(t)x1(s)?x1(t)x2(s)f(s)ds,其中a1(t),a2(t)W[x1(s),x2(s)]对应齐次方程的基本解组为x1(t),x2(t)，证明其有一特解是φ(t)??tt0及f(t)是区间Ｉ上的连续函数，W[x1(t),x2(t)]是x1(t),x2(t)的朗斯基行列式。
证 已知x1(t),x2(t)是对应齐次方程
d2xdx?a(t)?a2(t)x?0 12dtdt的基本解组，则齐次方程的通解为
C1x1(t)?C2x2(t)。
用常数变易法，求原方程的特解。
设 y?C1(t)x1(t)?C2(t)x2(t)是原方程的特解，则C1(t),C2(t)满足下列关系
*?(t)x2(t)?0?C1?(t)x1(t)?C2 ?，
????C(t)x(t)?C(t)x(t)?f(t)122?1解得
C1?(t)?0 x2(t)?(t)f(t) x2x1(t) x2(t) ?(t) ?(t)x1x2??f(t)x2(t)，
w(x1(t),x2(t))?(t)?C2积分得 C1(t)?原方程的一个特解为
x1(t) 0? (t) f(t)x1w(x1(t),x2(t))?f(t)x1(t)，
w(x1(t),x2(t))?tt0t?f(s)x2(s)f(s)x1(s)ds C2(t)? ?ds。
t0w(x1(s),x2(s))w(x1(s),x2(s))y?x1(t)?故 φ(t)?*tt0t?f(s)x2(s)f(s)x1(s)ds?x2(t) ?ds
t0w(x(s),x(s))w(x1(s),x2(s))12?tt0x1(s)x2(t)?x1(t)x2(s)f(s)ds是原方程的一个特解。
w(x1(s),x2(s))证明题：设x?eλtΓ?t?是常系数线性齐次方程组x??Ax……（1）的解，Γ?t?的分量都是次数?k的多项式，但至少有一个分量是t的k次多项式，证明向量组eλtΓ?t?，eλtΓ??t?，...，eλtΓ(k)?t?是方程组（1）的线性无关解组。
证： 设x?eλtΓ?t?是常系数线性齐次方程组
x??Ax （1）
的解，但至少有一个分量是t的k次多项式，证明向量组eλtΓ?t?，...，Γ?t?的分量都是次数?k的多项式，eλtΓ??t?，
eλtΓ(k)?t?，t?(??,??)是方程组（1）的线性无关的解组。
证 先证明eλtΓ?t?，eλtΓ??t?，...，eλtΓ(k)?t?都是方程组（1）的解。 由于x?eλtΓ?t?方程组（1）的解，则有
λeλtΓ?t??eλtΓ??t??AeλtΓ?t?，
即
Γ??t??(A?λE)Γ?t?
其中E表示单位矩阵。
由Γ??t??(A?λE)Γ?t?易得
Γ(m)?t??(A?λE)Γ(m?1)?t? m?1,2,?,k?1 。 （2）
dλt(m)eΓ?t??λeλtΓ(m)?t??eλtΓ(m?1)?t?， dt??由（2），上式变为
dλt(m)eΓ?t??λeλtΓ(m)?t??eλt[(A?λE)Γ(m)?t?] dtdλt(m)eΓ?t??AeλtΓ(m)?t?，m?1,2,?,k?1。 dt???? 故eλtΓ?t?，eλtΓ??t?，...，eλtΓ(k)?t?都是方程组（1）的解。
再证明向量组eλtΓ?t?，eλtΓ??t?，...，eλtΓ(k)?t?线性无关。
因为Γ?t?的分量都是次数?k的多项式，但至少有一个分量是t的k次多项式，所以
Γ(k)?t??0，而当m?k时，Γ(m)?t??0。
若C0eλtΓ?t??C1eλtΓ??t????CkeλtΓ(k)?t??0，t?(??,??)，即 C0Γ?t??C1Γ??t????CkΓ(k)?t??0，t?(??,??)，
给上式两边关于t求k阶导数，得C0Γ(k)?t??0，t?(??,??)，则必有C0?0。 给C1Γ??t????CkΓ(k)?t??0，t?(??,??)两边关于t求k?1阶导数，则必有C1?0。 同理，可得Cm?0，m?0,1,2,?,k。
故向量组eλtΓ?t?，eλtΓ??t?，...，eλtΓ(k)?t?线性无关。
综上所述，我们证明了向量组eλtΓ?t?，eλtΓ??t?，...，eλtΓ(k)?t?，t?(??,??)是方程组（1）的线性无关的解组。
证明题：n阶齐次线性常微分方程x(n)?a1(t)x(n?1)?a2(t)x(n?2)???an(t)x?0有且最多有
n个线性无关的解。
n阶齐次线性常微分方程x(n)?a1(t)x(n?1)?a2(t)x(n?2)???an(t)x?0有且最多有
n个线性无关的解。
证明 ：由于n阶齐次线性常微分方程分别满足初始条件
?(n?1)x1(t0)?1,x1(t0)?0,??x1(t0)?0,?(n?1)x2(t0)?0,x2(t0)?1,??x2(t0)?0,???(n?1)xn(t0)?0,xn(t0)?0,??xn(t0)?1,
的解为x1(t),x2(t),?,xn(t),则一定存在n个解，又因为若任取n?1个解
?1(t),?2(t),?,?n(t),?n?1(t)
?1?1??W[?1(t),?2(t),?,?n(t),?n?1(t)]??2??2???n?1??1??n??
(n)(n)?1(n)?2??n?1由于 ?(jn)??a1(t)?(jn?1)?a2(t)?(jn?2)????an(t)?j 即最后一行可由前行线性表出，则
W[?1(t),?2(t),?,?n(t),?n?1(t)]??1?1???2??2???n?1??1??n??=0，故这n?1个解一定是线性相
(n)(n)?1(n)?2??n?1关的。从而命题得证。
证明题：设
y??1(x)和y??2(x)是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关解，求证：它们不能有共同的零点．
y??1(x)和y??2(x)是两个线性无关解，则它们的朗斯基行列式
证明：．证明 由于
W(x)??1(x)?2(x)?0 （*） （5分）
???1(x)?2(x) 假如它们有共同零点，那么存在一个点x0，使得 于是
?1(x0)=?2(x0)?0
W(x0)??1(x0)?2(x0)00??0
?(x0)?2?(x0)?1?(x0)?2?(x0)?1这与（*）式矛盾．
